Déterminer si un point appartient à une droiteMéthode

Un point M\left(x_M;y_M\right) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

Soit une droite \left(d\right) d'équation cartésienne 4x-y+3 = 0.

Déterminer si A\left(1;7\right) et B\left(-1 ; 1\right) appartiennent à \left(d\right).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

Les points A et B appartiennent à la droite si et seulement si leurs coordonnées vérifient l'équation 4x-y+3 = 0.

Etape 2

Rappeler les coordonnées du point et une équation de la droite

On rappelle :

  • L'équation cartésienne de la droite
  • Les coordonnées du point concerné

La droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 4x-y+3 = 0.

On a A\left(1;7\right) et B\left(-1;1\right).

Etape 3

Effectuer le calcul

On remplace les coordonnées de M dans l'équation de \left(d\right).

On remplace les coordonnées de A\left(1;7\right) dans l'équation de \left(d\right) :

4x_A-y_A+3=4\times 1-7+3=4-7+3=0

Les coordonnées de A vérifient l'équation de la droite.

On remplace les coordonnées de B\left(-1 ; 1\right) dans l'équation de \left(d\right) :

4x_B-y_B+3=4\times\left(-1\right)-1+3=-4-1+3= -2 \neq 0

Les coordonnées de B ne vérifient pas l'équation de la droite.

Etape 4

Conclure

On conclut sur l'appartenance du point M à la droite \left(d\right) :

  • Si ax_M+by_M+c=0, alors M \in \left(d\right).
  • Si ax_M+by_M+c \neq 0, alors M \notin \left(d\right).

On en déduit que A\in \left(d\right) et B\notin \left(d\right).