Les équations de droitesCours

I

Les vecteurs directeurs d'une droite

A

Définition

Vecteur directeur

Soient A et B deux points distincts du plan. Un vecteur non nul \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.

-
B

Les propriétés

Nombre de vecteurs directeurs

Toute droite admet un nombre infini de vecteurs directeurs.

-

Unicité d'une droite passant par deux points

Soient A et B deux points distincts du plan.

Il existe une et une seule droite passant par les points A et B.

Unicité d'une droite passant par un point fixé, connaissant un vecteur directeur

Soient un point A et un vecteur non nul \overrightarrow{u}. Il existe une et une seule droite passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u}.

-

Vecteur directeur et coefficient directeur

Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur a. Un vecteur directeur de (d) est le vecteur :

\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr a \end{pmatrix}

La droite d'équation y=-2x-6 a pour coefficient directeur −2. Un vecteur directeur \overrightarrow{u} de cette droite a pour coordonnées \overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr- 2 \end{pmatrix}.

II

Les équations d'une droite

Le plan est rapporté à un repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right).

A

L'équation réduite

Equation réduite

Soit une droite D.

Si D est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), l'équation réduite de D est de la forme :

x = k

k est un réel.

Sinon, l'équation réduite de D est de la forme :

y = mx + p

où le réel m est le coefficient directeur de D et le réel p est son ordonnée à l'origine.

-

Condition de parallélisme

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Les droites (d) et (d'), d'équations respectives y=-2x+6 et y=-2x+\dfrac13, sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur −2.

B

Une équation cartésienne

Equation cartésienne

Soit une droite D. Une équation cartésienne de la droite D est une équation de la forme :

ax + by + c = 0

a, b et c sont trois réels, a et b ne pouvant être tous les deux nuls (en même temps).

Un vecteur directeur de D est le vecteur :

\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix}

La droite d'équation cartésienne -x-5y+7=0 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr -1 \end{pmatrix}.

Soit D une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0.

  • Si b = 0, la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées.
  • Si b \neq 0, la droite D a pour coefficient directeur m=-\dfrac{a}{b}.

La droite d'équation cartésienne -x-5y+7=0 est une droite ayant pour coefficient directeur :

m=\dfrac{-\left(-1\right)}{-5}=-\dfrac15

Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes et une seule équation réduite.

La droite (d) a pour équation cartésienne :

3x-4y+1=0

En multipliant chaque membre par −4, on obtient une deuxième équation cartésienne :

-12x+16y-4=0

En revanche l'équation réduite de (d) est unique. En isolant y dans le membre de gauche, on obtient :

y=\dfrac34x+\dfrac14

Condition analytique du parallélisme

Les droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0.

Considérons les droites (d) et (d') d'équations respectives -4x+y-7=0 et x-\dfrac14y+15=0.

Calculons :

-4\times\left( -\dfrac14 \right)-1\times1=1-1=0

Par conséquent les droites (d) et (d') sont parallèles.