Déterminer une équation cartésienne d'une droiteMéthode

Méthode 1

En utilisant la formule

Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(2;-1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.

Etape 1

Donner la forme d'une équation de droite

D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : ax+by +c = 0.

Pour toute droite \left(d\right), il existe une infinité d'équations cartésiennes mais une seule équation réduite.

On cherche une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.

Etape 2

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \left(d\right), \overrightarrow{AB} est alors un vecteur directeur de \left(d\right).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \left(d\right) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \left(d\right) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

D'après l'énoncé, la droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4\end{pmatrix}.

Etape 3

Déterminer les valeurs de a et b

D'après le cours, on sait que si \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur la droite \left(d\right), alors \left(d\right) admet une équation de la forme ax+by +c = 0.

On détermine donc les valeurs de a et de b.

On sait que \left(d\right) a une équation de la forme ax+by +c = 0.

Or \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

On peut choisir a et b tels que :

\begin{cases} -b = -3 \cr \cr a=4 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} b = 3 \cr \cr a=4 \end{cases}

Ainsi \left(d\right) admet une équation cartésienne du type : 4x+3y+c= 0.

Etape 4

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).

Le point A\left(2;-1\right) appartient à la droite \left(d\right).

Etape 5

Déterminer la valeur de c

On sait que le point A\left(x_A;y_A\right) appartient à la droite \left(d\right). Ses coordonnées vérifient donc les équations de \left(d\right).

On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :

ax_A+by_A +c = 0

On connaît a, b, x_A et y_A, on peut donc déterminer c.

La droite \left(d\right) passe par le point A\left(2;-1\right). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de \left(d\right).

Ainsi :

4x_A+3y_A+c= 0

4\times 2+ 3\times \left(-1\right) +c = 0

8-3 +c = 0

c= -5

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant l'équation de la droite avec les coefficients a, b et c déterminés.

On obtient une équation cartésienne de \left(d\right) : 4x+3y-5=0.

Méthode 2

En redémontrant la formule

Afin de déterminer l'équation cartésienne d'une droite \left(d\right) dont on connaît deux points A et B ou un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}, on définit un point M\left(x;y\right) appartenant à \left(d\right) puis on étudie la condition de colinéarité entre le vecteur \overrightarrow{AM} et le vecteur directeur \overrightarrow{u}.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(1;3\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \left(d\right), \overrightarrow{AB} est alors un vecteur directeur de \left(d\right).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \left(d\right) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \left(d\right) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

La droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\cr\cr 2\end{pmatrix}.

Etape 2

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).

Le point A\left(1;3\right) appartient à la droite \left(d\right).

Etape 3

Ecrire l'équation à respecter pour qu'un point appartienne à la droite

M\left(x;y\right) appartient à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x_u \cr\cr y_u \end{pmatrix} sont colinéaires.

Or, d'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{m}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a' \cr\cr b' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si ab'-a'b=0.

On doit donc résoudre l'équation suivante :

\left(x-x_A\right)\times y_u - x_u\times \left(y-y_A\right) = 0

Soit M\left(x;y\right) un point quelconque du plan.

\overrightarrow{AM} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix}.

M appartient donc à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires, soit, si et seulement si :

\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0

Etape 4

Ecrire l'équation obtenue plus simplement

On transforme l'équation pour la ramener à une équation de la forme ax+by+c = 0.

On transforme l'équation :

\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0

\Leftrightarrow2x-2 - 5y+15= 0

\Leftrightarrow2x - 5y+13= 0

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant l'équation cartésienne de \left(d\right) obtenue.

La droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 2x - 5y+13= 0.