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  4. Méthode : Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Déterminer une équation cartésienne d'une droite Méthode

Sommaire

Méthode 1En utilisant la formule 1Donner la forme d'une équation de droite 2Déterminer un vecteur directeur de la droite 3Déterminer les valeurs de a et b 4Donner les coordonnées d'un point de la droite 5Déterminer la valeur de c 6ConclureMéthode 2En redémontrant la formule 1Déterminer un vecteur directeur de la droite 2Donner les coordonnées d'un point de la droite 3Ecrire l'équation à respecter pour qu'un point appartienne à la droite 4Ecrire l'équation obtenue plus simplement 5Conclure
Méthode 1

En utilisant la formule

Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(2;-1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.

Etape 1

Donner la forme d'une équation de droite

D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : ax+by +c = 0.

Pour toute droite \left(d\right), il existe une infinité d'équations cartésiennes mais une seule équation réduite.

On cherche une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.

Etape 2

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \left(d\right), \overrightarrow{AB} est alors un vecteur directeur de \left(d\right).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \left(d\right) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \left(d\right) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

D'après l'énoncé, la droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4\end{pmatrix}.

Etape 3

Déterminer les valeurs de a et b

D'après le cours, on sait que si \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur la droite \left(d\right), alors \left(d\right) admet une équation de la forme ax+by +c = 0.

On détermine donc les valeurs de a et de b.

On sait que \left(d\right) a une équation de la forme ax+by +c = 0.

Or \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

On peut choisir a et b tels que :

\begin{cases} -b = -3 \cr \cr a=4 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} b = 3 \cr \cr a=4 \end{cases}

Ainsi \left(d\right) admet une équation cartésienne du type : 4x+3y+c= 0.

Etape 4

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).

Le point A\left(2;-1\right) appartient à la droite \left(d\right).

Etape 5

Déterminer la valeur de c

On sait que le point A\left(x_A;y_A\right) appartient à la droite \left(d\right). Ses coordonnées vérifient donc les équations de \left(d\right).

On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :

ax_A+by_A +c = 0

On connaît a, b, x_A et y_A, on peut donc déterminer c.

La droite \left(d\right) passe par le point A\left(2;-1\right). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de \left(d\right).

Ainsi :

4x_A+3y_A+c= 0

4\times 2+ 3\times \left(-1\right) +c = 0

8-3 +c = 0

c= -5

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant l'équation de la droite avec les coefficients a, b et c déterminés.

On obtient une équation cartésienne de \left(d\right) : 4x+3y-5=0.

Méthode 2

En redémontrant la formule

Afin de déterminer l'équation cartésienne d'une droite \left(d\right) dont on connaît deux points A et B ou un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}, on définit un point M\left(x;y\right) appartenant à \left(d\right) puis on étudie la condition de colinéarité entre le vecteur \overrightarrow{AM} et le vecteur directeur \overrightarrow{u}.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(1;3\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \left(d\right), \overrightarrow{AB} est alors un vecteur directeur de \left(d\right).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \left(d\right) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \left(d\right) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

La droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\cr\cr 2\end{pmatrix}.

Etape 2

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).

Le point A\left(1;3\right) appartient à la droite \left(d\right).

Etape 3

Ecrire l'équation à respecter pour qu'un point appartienne à la droite

M\left(x;y\right) appartient à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x_u \cr\cr y_u \end{pmatrix} sont colinéaires.

Or, d'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{m}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a' \cr\cr b' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si ab'-a'b=0.

On doit donc résoudre l'équation suivante :

\left(x-x_A\right)\times y_u - x_u\times \left(y-y_A\right) = 0

Soit M\left(x;y\right) un point quelconque du plan.

\overrightarrow{AM} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix}.

M appartient donc à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires, soit, si et seulement si :

\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0

Etape 4

Ecrire l'équation obtenue plus simplement

On transforme l'équation pour la ramener à une équation de la forme ax+by+c = 0.

On transforme l'équation :

\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0

\Leftrightarrow2x-2 - 5y+15= 0

\Leftrightarrow2x - 5y+13= 0

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant l'équation cartésienne de \left(d\right) obtenue.

La droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 2x - 5y+13= 0.

Voir aussi
  • Cours : Représenter et caractériser les droites du plan
  • Méthode : Placer un point dans un repère
  • Méthode : Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé
  • Méthode : Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment
  • Méthode : Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre
  • Exercice : Déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine à l'aide de son expression
  • Exercice : Lire un vecteur directeur d'une droite représentée sur un repère orthonormé
  • Exercice : Déterminer si un vecteur est directeur d'une droite représentée sur un repère orthonormé
  • Exercice : Associer équation de droite et droite représentée sur un repère orthonormé
  • Exercice : Calculer un vecteur directeur d'une droite à l'aide de son coefficient directeur
  • Exercice : Calculer le coefficient directeur d'une droite à l'aide d'un de ses vecteurs directeurs
  • Exercice : Associer coefficient directeur et vecteur directeur équivalents
  • Exercice : Lire les informations données par l'équation réduite d'une droite
  • Exercice : Calculer l'équation réduite d'une droite à l'aide de son coefficient directeur et d'un point
  • Exercice : Calculer l'équation réduite d'une droite à l'aide de son vecteur et d'un point
  • Exercice : Calculer l'équation réduite d'une droite à l'aide de deux points
  • Exercice : Donner un vecteur directeur d'une droite à l'aide de son équation cartésienne
  • Exercice : Calculer une équation cartésienne d'une droite à l'aide de son coefficient directeur et d'un point
  • Exercice : Calculer une équation cartésienne d'une droite à l'aide de son vecteur et d'un point
  • Exercice : Calculer une équation cartésienne d'une droite à l'aide de deux points
  • Problème : Calculer une équation cartésienne d'une droite à partir de deux points à l'aide d'un algorithme
  • Exercice : Transformer une équation cartésienne d'une droite en équation réduite
  • Exercice : Tracer une droite à partir de son coefficient directeur et d'un point
  • Exercice : Tracer une droite à partir de son équation réduite
  • Exercice : Tracer une droite à partir de deux points
  • Exercice : Tracer une droite à partir de son équation cartésienne
  • Exercice : Déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondues à l'aide de leurs coefficients directeurs
  • Exercice : Déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondues à l'aide de leurs vecteurs directeurs
  • Exercice : Étudier le parallélisme de deux droites
  • Exercice : Déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondues à l'aide de leurs points
  • Exercice : Donner l'équation de la droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné
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  • Exercice : Établir l'alignement de trois points à l'aide de vecteurs
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  • Méthode : Donner un vecteur directeur d'une droite dont on connaît une équation cartésienne
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