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Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2026-2027
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(2;-1\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.
D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : ax+by +c = 0.
Pour toute droite \left(d\right), il existe une infinité d'équations cartésiennes mais une seule équation réduite.
On cherche une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.
On détermine un vecteur directeur de la droite.
On peut l'obtenir de différentes façons :
D'après l'énoncé, la droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4\end{pmatrix}.
D'après le cours, on sait que si \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur la droite \left(d\right), alors \left(d\right) admet une équation de la forme ax+by +c = 0.
On détermine donc les valeurs de a et de b.
On sait que \left(d\right) a une équation de la forme ax+by +c = 0.
Or \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).
On peut choisir a et b tels que :
\begin{cases} -b = -3 \cr \cr a=4 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} b = 3 \cr \cr a=4 \end{cases}
Ainsi \left(d\right) admet une équation cartésienne du type : 4x+3y+c= 0.
Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).
Le point A\left(2;-1\right) appartient à la droite \left(d\right).
On sait que le point A\left(x_A;y_A\right) appartient à la droite \left(d\right). Ses coordonnées vérifient donc les équations de \left(d\right).
On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :
ax_A+by_A +c = 0
On connaît a, b, x_A et y_A, on peut donc déterminer c.
La droite \left(d\right) passe par le point A\left(2;-1\right). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de \left(d\right).
Ainsi :
4x_A+3y_A+c= 0
4\times 2+ 3\times \left(-1\right) +c = 0
8-3 +c = 0
c= -5
On conclut en donnant l'équation de la droite avec les coefficients a, b et c déterminés.
On obtient une équation cartésienne de \left(d\right) : 4x+3y-5=0.
Afin de déterminer l'équation cartésienne d'une droite \left(d\right) dont on connaît deux points A et B ou un point A et un vecteur directeur \overrightarrow{u}, on définit un point M\left(x;y\right) appartenant à \left(d\right) puis on étudie la condition de colinéarité entre le vecteur \overrightarrow{AM} et le vecteur directeur \overrightarrow{u}.
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A\left(1;3\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
On détermine un vecteur directeur de la droite.
On peut l'obtenir de différentes façons :
La droite a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\cr\cr 2\end{pmatrix}.
Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A\left(x_A; y_A\right) de la droite \left(d\right).
Le point A\left(1;3\right) appartient à la droite \left(d\right).
M\left(x;y\right) appartient à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x_u \cr\cr y_u \end{pmatrix} sont colinéaires.
Or, d'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{m}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a' \cr\cr b' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si ab'-a'b=0.
On doit donc résoudre l'équation suivante :
\left(x-x_A\right)\times y_u - x_u\times \left(y-y_A\right) = 0
Soit M\left(x;y\right) un point quelconque du plan.
\overrightarrow{AM} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix}.
M appartient donc à la droite \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires, soit, si et seulement si :
\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0
On transforme l'équation pour la ramener à une équation de la forme ax+by+c = 0.
On transforme l'équation :
\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0
\Leftrightarrow2x-2 - 5y+15= 0
\Leftrightarrow2x - 5y+13= 0
On conclut en donnant l'équation cartésienne de \left(d\right) obtenue.
La droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 2x - 5y+13= 0.
On part de la forme ax + by + c = 0. On trouve a et b grâce à un vecteur directeur de coordonnées (−b ; a), puis on calcule c en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point de la droite. Exemple : avec le vecteur (−3 ; 4) et le point A(2 ; −1), on ob
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax + by + c = 0. Si le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur directeur de la droite, alors la droite admet une équation de cette forme. Une droite a une infinité d'équations cartésiennes, mais un
Si l'on connaît deux points A et B de la droite, le vecteur AB est un vecteur directeur. On en déduit a et b, puis on calcule c en remplaçant x et y par les coordonnées de A (ou de B) dans ax + by + c = 0.