Déterminer la compacité d'une maille de réseau cubique à faces centrées Exercice

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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Quelle est la définition de la compacité d'un cristal ?

C'est le taux d'occupation de l'espace disponible dans la maille par les entités chimiques qu'elle contient.

C'est la masse des entités chimiques contenues dans une maille du cristal, compte tenu de leur multiplicité.

C'est la masse des entités chimiques contenues dans une maille du cristal par la masse de cette maille.

C'est le volume des entités chimiques contenues dans une maille du cristal, compte tenu de leur multiplicité.

La compacité d'un cristal est le taux d'occupation de l'espace disponible dans la maille par les entités chimiques qu'elle contient.

Quelle est l'unité de la compacité d'un cristal ?

C'est une grandeur sans unité.

C'est une grandeur exprimée en g.

C'est une grandeur exprimée en g.m⁻³.

C'est une grandeur exprimée en m³.

La compacité d'un cristal est un taux. C'est donc une grandeur sans unité.

Relativement à une maille d'un réseau cubique à faces centrées, on note :

N , la multiplicité de la maille ;
V_{\text{sphère}}, le volume occupé par une entité chimique (modélisée par une sphère) ;
V_{\text{maille}}, le volume de la maille.

Quelle est alors l'expression de la compacité de cette maille ?

C = \dfrac{N \times V_{\text{sphère}}}{ V_{\text{maille}}}

C = \dfrac{N \times V_{\text{maille}}}{ V_{\text{sphère}}}

C = \dfrac{V_{\text{maille}}}{ N \times V_{\text{sphère}}}

C = \dfrac{V_{\text{sphère}}}{ N \times V_{\text{maille}}}

D'après sa définition, l'expression de la compacité est :

C = \dfrac{N \times V_{\text{sphère}}}{ V_{\text{maille}}}

Quel est le volume V_{\text{maille}} d'une maille cubique de côté a ?

V_{\text{maille}} = a^3

V_{\text{maille}} = \dfrac{4}{3} \times a^3

V_{\text{maille}} = a^2

V_{\text{maille}} = \dfrac{4}{3} \times a^2

L'expression correcte du volume d'une maille cubique est le volume d'un cube de côté a :

V_{\text{maille}} = a^3

Quelle est l'expression du volume V_{\text{sphère}} d'une sphère de rayon R ?

V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3

V_{\text{sphère}} =\pi \times R^3

V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^2

V_{\text{sphère}} = \pi \times R^2

L'expression correcte du volume d'une sphère de rayon R est :

V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3

Quelle est la multiplicité N d'une maille de réseau cubique à faces centrées ?

N = 4

N = 2

N = 1

N = \dfrac{1}{2}

La multiplicité d'une maille de réseau cubique à faces centrées est N=4.

Quelle est la relation existant entre le rayon d'une sphère R et le côté de la maille a dans un réseau cubique à faces centrées ?

a = \dfrac{4 \times R}{\sqrt{2}}

a = \dfrac{2 \times R}{\sqrt{2}}

a = \dfrac{4 \times R}{\sqrt{3}}

a = \dfrac{2 \times R}{\sqrt{3}}

On peut représenter la maille de réseau cubique à faces centrées comme ci-dessous.

D'après la représentation de la maille cubique à faces centrées, on peut écrire que :

4 \times R= \sqrt{2} \times a

Soit :

a = \dfrac{4 \times R}{\sqrt{2}}

Quel est le calcul correct de la compacité du réseau cubique à faces centrées ?

C = \dfrac{4 \times \dfrac{4}{3} \times \pi\times R^3}{\left(\dfrac{4\times R}{\sqrt{2}}\right)^3} = 0{,}74

C = \dfrac{4\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R}{\dfrac{4\times R}{\sqrt{2}}} = 0{,}74

C = \dfrac{4\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3}{\left(\dfrac{4\times R}{\sqrt{2}}\right)^3}= 0{,}52

C = \dfrac{4\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R}{\dfrac{4\times R}{\sqrt{2}}} = 0{,}52

Le calcul correct de la compacité du réseau cubique à faces centrées est donc :

C = \dfrac{N \times V_{\text{sphère}}}{ V_{\text{maille}}}

C = \dfrac{4\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3}{a^3}

C = \dfrac{4\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3}{\left(\dfrac{4\times R}{\sqrt{2}}\right)^3}

C = \dfrac{4 \times \dfrac{4}{3} \times \pi}{(\dfrac{4}{\sqrt{2}})^3}

C = 0{,}74