Des édifices ordonnés : les cristauxCours

Dans la nature, il existe différentes organisations de la matière. L'état cristallin, qui donne les cristaux, est une de ces organisations. La compréhension de sa structure permet de mieux comprendre de nombreux éléments dans la nature.

Qu'est-ce qu'un cristal et comment est-il structuré ?

I

Les cristaux dans l'environnement et leur formation

A

Les solides amorphe et cristallin

Dans la nature, on trouve des solides. Un solide est un corps qui possède une forme propre ; on en distingue deux types :

  • le solide amorphe ;
  • le solide cristallin.

Solide amorphe

Un solide amorphe est constitué d'entités chimiques dont l'arrangement n'est pas ordonné.

Le verre est un solide amorphe, les molécules qui le composent ne sont pas ordonnées de façon géométrique.  

Structure amorphe d'un verre à l'échelle microscopique 
Structure amorphe d'un verre à l'échelle microscopique 

Solide cristallin

Un solide cristallin est constitué d'entités chimiques arrangées de manière ordonnée et régulière dans les trois directions de l'espace.

Le cristal de chlorure de sodium (sel, \ce{NaCl}) est un solide cristallin. Lorsque l'on observe ce solide au microscope, on distingue des éléments géométriques qui se répètent. Cela se voit d'ailleurs à la forme macroscopique (à notre échelle) du cristal.

Cristal de sel à l'échelle macroscopique (à notre échelle)
Cristal de sel à l'échelle macroscopique (à notre échelle)
B

Les cristaux dans l'environnement

Dans l'environnement, les minéraux et certains organismes biologiques présentent des structures cristallines.

Minéraux

On appelle minéraux les espèces chimiques se présentant sous forme de solides cristallins.

Les minéraux sont formés dans le sol de la terre. Ils s'assemblent ensuite avec d'autres éléments, notamment du verre, pour former des roches. 

Le basalte est une roche dans laquelle on trouve des minéraux.

La composition du basalte

La composition du basalte

On trouve également des structures cristallines chez certains êtres vivants.

Les os des vertébrés et les coquilles des mollusques ont des structures cristallines.

Coquille de nautile (mollusque)

Coquille de nautile (mollusque)

C

La formation d'un cristal : la cristallisation

Lorsqu'un cristal se forme, on parle de cristallisation. 

Cristallisation

La cristallisation est le phénomène qui permet de faire passer une substance d'un état désordonné à un état ordonné. Après la cristallisation, les atomes de la substance s'organisent en une forme géométrique particulière.

La cristallisation dépend des conditions de pression et de température. Ainsi, un minéral de formule chimique donnée peut cristalliser sous différents types de structures qui ont des propriétés macroscopiques (visibles à l'œil nu) différentes, en fonction des conditions extérieures.

L'eau peut cristalliser sous neuf sortes de cristaux différents en fonction des conditions de pression et de température.

La vitesse à laquelle se déroule la cristallisation influence la taille du cristal : une cristallisation lente favorise un arrangement ordonné des entités chimiques et donc la formation d'un grand cristal alors qu'une cristallisation rapide génère un agglomérat de petits cristaux ou même un solide amorphe.

Le verre que l'on peut trouver dans certaines roches volcaniques est dû à la solidification très rapide de la lave.

II

La structure du cristal

A

Généralités sur la structure du cristal

La structure d'un cristal est composée d'un motif élémentaire qui se répète (un atome ou un ion, un ensemble d'atomes ou d'ions) et d'un réseau :

-

On représente la façon dont s'organise un cristal par une forme géométrique en trois dimensions. Le motif élémentaire peut y être placé à différents endroits (au sommet, au centre des bases, sur les faces, etc.). Cela constitue la maille. 

Maille

La maille correspond à la plus petite structure permettant d'obtenir le cristal par répétition périodique dans les trois directions de l'espace.

Exemple d'une maille de cristal
Exemple d'une maille de cristal

Il existe 7 formes de mailles que l'on peut représenter grâce à la perspective cavalière.

Perspective cavalière

La perspective cavalière est un outil qui permet de représenter sur une feuille de papier (en deux dimensions) des objets qui existent en volume (trois dimensions).

Les différentes formes de maille cristalline représentées en perspective cavalière

Les différentes formes de maille cristalline représentées en perspective cavalière

On va se concentrer sur la maille cubique, et sur deux types de réseaux cristallins qu'elle peut donner :

  • le réseau cubique simple ;
  • le réseau cubique à faces centrées.
B

Le réseau cubique simple

Le réseau de la maille cubique peut s'organiser en réseau cubique simple. 

Cristal de type cubique simple

Un cristal est de type cubique simple lorsque les entités chimiques qui le composent sont situées uniquement aux sommets d'une maille cubique.

Le polonium est un métal qui peut cristalliser selon un réseau cubique simple.

Réseau cubique simple d'un cristal de polonium
Réseau cubique simple d'un cristal de polonium

Sur cette image, l'échelle n'est pas respectée : en réalité, les atomes se touchent les uns les autres.

C

Le réseau cubique à faces centrées

Le réseau de la maille cubique peut s'organiser en réseau cubique à faces centrées. 

Cristal de type cubique à faces centrées

Un cristal est dit cubique à faces centrées lorsque les entités chimiques qui le composent sont situées aux sommets de la maille cubique et aussi au centre de ses faces.

Le chlorure de sodium est un solide ionique dont les deux constituants (les ions \ce{Na+}  et \ce{Cl^{–}} ) cristallisent selon un réseau cubique à faces centrées.

Réseau cubique à faces centrées d'un cristal de chlorure de sodium
Réseau cubique à faces centrées d'un cristal de chlorure de sodium

Les deux réseaux cubiques à faces centrées sont enchevêtrés pour constituer le solide ionique.

III

Les propriétés des cristaux

Les cristaux ont des propriétés comme la multiplicité de leur maille, leur masse volumique et leur compacité. Pour les étudier, il convient de se placer dans le modèle des sphères dures, dans lequel les entités chimiques (les atomes notamment) sont considérées comme des sphères non déformables.

A

La multiplicité

Selon leur emplacement, les sphères qui représentent les entités chimiques sont partagées par plusieurs mailles. La multiplicité donne le nombre total d'entités par maille.

Multiplicité d'une maille

La multiplicité d'une maille, notée N, est égale au nombre total d'entités chimiques contenues dans une maille, compte tenu de leur emplacement.

En fonction de son emplacement, une sphère ne contribue pas de la même façon à la maille.

-
1

La multiplicité dans le réseau cubique simple

Dans un réseau cubique simple, la multiplicité du réseau est N_{\text{Cubique simple}} = 1.

Dans un réseau cubique simple, il y a 8 sphères situées sur les sommets du cube. 

Leur contribution, donnée par le tableau précédent, est \dfrac{1}{8}

La multiplicité de ce réseau est donc :

N_{\text{Cubique simple}} = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1

2

La multiplicité dans le réseau cubique à faces centrées

Dans un réseau cubique à faces centrées, la multiplicité est N_{\text{Cubique à faces centrées}} = 4.

Dans un réseau cubique à faces centrées, il y a 8 sphères situées sur les sommets du cube, dont la contribution est \dfrac{1}{8}, et 6 sphères situées aux centres de ses faces dont la contribution est \dfrac{1}{2}

La multiplicité de ce réseau est donc :

N_{\text{Cubique à faces centrées}} = 8 \times \dfrac{1}{8} + 6 \times \dfrac{1}{2}  = 4

B

La masse volumique

La connaissance de la multiplicité des entités dans une maille permet de déterminer la masse volumique du cristal correspondant.

Masse volumique

La masse volumique d'un cristal, notée  \rho, est le rapport entre sa masse et son volume :

\rho =\dfrac{m_{\text{cristal}}}{V_{\text{cristal}}}

Dans le cas d'un réseau composé d'entités chimiques de masse molaire M, caractérisé par sa multiplicité N  et par la longueur a  d'un côté de la maille cubique, on a :

m_{\text{cristal}} = N \times \dfrac{M}{N_A} et  V_{\text{cristal}} = a^3

Avec N_A la constante d'Avogadro : N_A = 6,02 \times 10^{23}\text{ mol}^{–1}.

D'où :

\rho = \dfrac{ N \times \dfrac{M}{N_A} } {a^3}

Avec les unités usuelles (M en g·mol–1, a en m) la masse volumique \rho est obtenue en g·m–3.

Le cristal de polonium est un réseau cubique simple (donc de multiplicité N = 1 , dont le côté a une longueur a = 0,336\text{ nm} ) et composé d'atomes de polonium de masse molaire M_{Po} = 209,0\text{ mol}^{–1}

Sa masse volumique est donc :

\rho_{Po} = \dfrac{ N \times \dfrac{M_{Po} }{N_A} }{a_{Po} ^3}

\rho_{Po} = \dfrac{ 1 \times \dfrac{209,0 }{6,02 \times 10^{23} }}{(0,336 \times 10^{–9}) ^3}

\rho_{Po} = 9,15 \times 10^{6}\text{ g.m}^{–3}  

Soit :

\rho_{Po} = 9,15 \times 10^{3}\text{ kg.m}^{–3}  

C

La compacité

Les sphères correspondant aux entités chimiques remplissent plus ou moins le volume de la maille disponible, selon le réseau de leur arrangement. 

Compacité d'un cristal

La compacité d'un cristal, notée C, est le taux d'occupation de l'espace disponible dans la maille par les entités chimiques qu'elle contient. C'est une grandeur sans unité, qui peut aussi être exprimée par un pourcentage.

Compacité

La compacité C d'un cristal est le rapport du volume total des sphères d'une maille à celui de la maille qui les contient :

C = \dfrac{V_{\text{toutes les sphères}}}{ V_{\text{maille}}}
 

C = \dfrac{N \times V_{\text{sphère}}}{ V_{\text{maille}}}

Avec :

  • V_{\text{toutes les sphères}}, le volume occupé par toutes les sphères de la maille ;
  • N, la multiplicité du réseau ;
  • V_{\text{sphère}}, le volume d'une seule sphère de rayon R V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 ;
  • V_{\text{maille}} , le volume disponible dans la maille qui est, dans le cas d'une maille cubique de côté a :   V_{\text{maille}} = a^3 .

 

Ces deux volumes doivent être exprimés dans la même unité.

Pour calculer la compacité d'un réseau, on suppose que les sphères représentant un atome ou un ion se touchent. On dit qu'elles sont jointives. Ces considérations géométriques dans une maille permettent d'établir une relation entre le côté a de la maille cubique et le rayon R d'une sphère.

1

La compacité d'un réseau cubique simple

Dans un réseau cubique simple, 2 \times R = a où a est le côté de la maille cubique et R est le rayon d'une sphère.

Taille des sphères et longueur d'un réseau cubique simple
Taille des sphères et longueur d'un réseau cubique simple

La compacité d'un réseau cubique simple est  C_{{ CS }} = 0,52 .

La multiplicité d'un réseau cubique simple étant de 1 et étant donné que pour ce réseau 2 \times R = a , sa compacité est :

C_{{CS}} = \dfrac{V_{\text{1 sphère}}}{ V_{\text{maille}}}
C_{{ CS}} = \dfrac{\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 }{ a^3}
C_{{ CS}} = \dfrac{\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 }{ (2 \times R)^3}
C_{CS} = \dfrac{\dfrac{4}{3} \times \pi }{ 2 ^3}

C_{{ CS }} = 0,52

2

La compacité d'un réseau cubique à faces centrées

Dans un réseau cubique à faces centrées, 4 \times R = a \times \sqrt{2} où a est le côté de la maille cubique et R est le rayon d'une sphère.

Taille des sphères et longueur d'un réseau cubique à faces centrées
Taille des sphères et longueur d'un réseau cubique à faces centrées

La compacité d'un réseau cubique à faces centrées est  C_{{ CFC }} = 0,74 .

La multiplicité d'un réseau cubique à faces centrées étant de 4 et étant donné que pour ce réseau 4 \times R = a \times \sqrt{2} , sa compacité est :

C_{{CFC}} = \dfrac{V_{\text{4 sphères}}}{ V_{\text{maille}}}

C_{{ CFC }} = \dfrac{4 \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 }{ a^3}

C_{{ CFC }} = \dfrac{4 \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3 }{ (\dfrac{4 \times R }{\sqrt{2} })^3}
C_{{ CFC }} = \dfrac{4 \times \dfrac{4}{3} \times \pi}{ (\dfrac{4 }{\sqrt{2} })^3}
C_{{ CFC }} = 0,74

La compacité du réseau cubique à faces centrées est la compacité maximale, que seul le réseau hexagonal atteint aussi.