On désire calculer la compacité d'une maille de réseau cubique simple.
Quelle est la définition de la compacité d'un cristal ?
La compacité d'un cristal est le taux d'occupation de l'espace disponible dans la maille par les entités chimiques qu'elle contient.
Quelle est l'unité de la compacité d'un cristal ?
Comme la compacité d'un cristal est un taux, c'est une grandeur sans unité.
Relativement à une maille d'un réseau cubique simple, on note :
- N, la multiplicité de la maille ;
- V_{\text{sphère}}, le volume occupé par une entité chimique (modélisée par une sphère) ;
- V_{\text{maille}}, le volume de la maille.
Quelle est l'expression de la compacité de cette maille ?
La compacité d'un cristal est le rapport du volume total des sphères d'une maille à celui de la maille qui les contient.
Le volume total des sphères d'une maille correspond au volume d'une sphère multiplié par la multiplicité de la maille, soit N \times V_{\text{sphère}}.
Le volume de la maille est V_{\text{maille}}.
La compacité est donc :
C = \dfrac{N \times V_{\text{sphère}}}{ V_{\text{maille}}}
Quelle est l'expression de V_{\text{sphère}}, le volume d'une sphère, en fonction du rayon de la sphère R ?
V_{\text{sphère}}, le volume d'une sphère, s'exprime en fonction du rayon de la sphère R :
V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3
Quelle est l'expression de V_{\text{maille}}, le volume de la maille, en fonction du côté a ?
V_{\text{maille}}, le volume de la maille, correspond au volume d'un cube de côté a :
V_{\text{maille}} = a^3
Quelle est la multiplicité d'une maille cubique simple ?
La multiplicité d'un réseau cubique simple est N = 1.
Quelle est la relation existant dans une maille cubique simple entre le rayon d'une sphère R et le côté de la maille a ?
On représente une maille cubique simple à l'aide du schéma ci-dessous.
D'après la représentation de la maille cubique simple, on peut écrire que :
a = 2 \times R
Quel est le calcul correct de la compacité du réseau cubique simple ?
Le calcul correct de la compacité du réseau cubique simple est :
C = \dfrac{N\times V_\text{sphère}}{V_\text{maille}}
C = \dfrac{1\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3}{a^3}
C = \dfrac{1\times \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3}{(2\times R)^3}
C = \dfrac{\dfrac{4}{3} \times \pi}{2^3}
C = 0{,}52