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ou

Etude de fonctions

I

Réels et intervalles

A

L'ensemble des réels

Ensemble des réels

L'ensemble des réels, noté \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est l'ensemble des nombres qu'il est possible de placer sur un axe orienté (appelé droite des réels).

-

Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres de la façon suivante :

  • L'ensemble \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) des entiers naturels est inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{Z}}\)
  • L'ensemble \(\displaystyle{\mathbb{Z}}\) des entiers relatifs est inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{D}}\)
  • L'ensemble \(\displaystyle{\mathbb{D}}\) des nombres décimaux est inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{Q}}\)
  • L'ensemble \(\displaystyle{\mathbb{Q}}\) des nombres rationnels est inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
Les ensembles \(\displaystyle{\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{\mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{\mathbb{D}}\), \(\displaystyle{\mathbb{Q}}\) sont donc inclus dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
-
B

Les intervalles de réels

Intervalle

Soit I une partie de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). On dit que I est un intervalle si à chaque fois que l'on choisit deux réels a et b de I, les réels compris entre a et b sont également dans I.

Soient deux réels a et b tels que \(\displaystyle{a \lt b}\). On note :

  • \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \leq x \leq b}\)
  • \(\displaystyle{\left]a ; b\right[}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \lt x \lt b}\)
  • \(\displaystyle{\left]a ; b\right]}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \lt x \leq b}\)
  • \(\displaystyle{\left[a ; b\right[}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \leq x \lt b}\)
  • \(\displaystyle{\left[a ; + \infty \right[}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \leq x}\)
  • \(\displaystyle{\left]a ; + \infty \right[}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{a \lt x}\)
  • \(\displaystyle{\left]- \infty ; a\right]}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{x \leq a}\)
  • \(\displaystyle{\left]- \infty ; a\right[}\) l'ensemble des réels tels que \(\displaystyle{x \lt a}\)

Si \(\displaystyle{3\lt x\leq 4}\), alors on peut écrire \(\displaystyle{x\in\left]3 ;4\right]}\).

Si \(\displaystyle{x\lt8}\), alors on peut écrire \(\displaystyle{x\in\left]-\infty;8\right[}\).

  • \(\displaystyle{+ \infty }\) se lit : "plus l'infini"
  • \(\displaystyle{- \infty }\) se lit : "moins l'infini"

Soient a et b deux réels tels que \(\displaystyle{a\lt b}\).

  • L'intervalle \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) est dit fermé.
  • L'intervalle \(\displaystyle{\left] a;b \right[}\) est dit ouvert.
  • Les intervalles \(\displaystyle{\left] a;b \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ a;b \right[}\) sont dits semi-ouverts.
  • Dans le cas de crochet(s) ouvert(s), a et/ou b peuvent être remplacés par \(\displaystyle{-\infty}\) et \(\displaystyle{+\infty}\).

L'intervalle \(\displaystyle{\left] -\infty;+\infty \right[}\) est en fait l'ensemble des réels.

Pour représenter un intervalle sur la droite des réels, on marque :

  • Un crochet fermé si la borne est incluse dans l'intervalle
  • Un crochet ouvert si la borne est exclue de l'intervalle

On représente ci-dessous l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right[}\) :

-
II

Les fonctions numériques

A

Principe

Fonction numérique

On appelle fonction numérique, ou simplement fonction, un procédé qui, à tout réel x d'une partie D de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), associe un unique réel y. D est appelé l'ensemble de définition de la fonction numérique. Si on appelle f la fonction numérique, on note :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

Si l'on connaît les opérations qu'il faut effectuer pour appliquer la fonction, on peut exprimer \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) en fonction de la variable x.

La fonction f qui à tout réel x associe la somme de son double et de 1 a pour expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\). Elle associe, à tout réel x, le réel \(\displaystyle{y=2x+1}\).

B

Images et antécédents

Image

Soit f une fonction définie sur une partie D de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), et x un réel de D. On appelle image de x par f le réel y qui vérifie :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

L'image de 5 par la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f\left(\color{Blue}{x}\right) = 2\color{Blue}{x} + 1}\) est égale à :

\(\displaystyle{f\left(\color{Blue}{5}\right) = 2 \times \color{Blue}{5} + 1 = 11}\)

Si elle existe, l'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) est unique.

Antécédent

Soit f une fonction définie sur une partie D de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Soit y une des images par f obtenue à partir d'un réel de D. On appelle antécédents de y par f les réels x qui vérifient :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

11 est l'image de 5 par \(\displaystyle{f}\), définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\), donc 5 est un antécédent de 11 par \(\displaystyle{f}\).

Un réel peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par \(\displaystyle{f}\).
-

Soit f la fonction définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\).

4 étant à la fois l'image de 2 et de −2 par f, 4 admet deux antécédents par f.

La fonction f étant à valeurs positives, −5 n'a pas d'antécédents par f.

III

Etude de fonctions

A

Domaine de définition

Domaine de définition

On appelle ensemble ou domaine de définition de la fonction \(\displaystyle{f}\), noté \(\displaystyle{D_{f}}\), l'ensemble des réels qui ont une image par \(\displaystyle{f}\).

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2}\) est définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\). On note \(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}}\).

Valeur interdite

On appelle valeur interdite un réel dont on ne peut calculer l'image par \(\displaystyle{f}\).

On ne peut pas calculer l'image de −1 par la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=\sqrt x}\) car on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Donc −1 est une valeur interdite.

Si le réel a est une valeur interdite de la fonction f, on exclut la valeur a du domaine de définition en écrivant : \(\displaystyle{D_f = \mathbb{R} \backslash \{ a \}}\) ou \(\displaystyle{D_f = \mathbb{R} - \{ a \}}\).
Dans le cas où f n'est pas définie en 0, on écrit communément : \(\displaystyle{D_f = \mathbb{R}^{*}}\) (lire "R étoile").

Soit \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\).

Sachant qu'on ne peut pas diviser par 0, 0 n'a pas d'image par f.

Le réel 0 est ainsi une valeur interdite de la fonction f.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\), pour tous les réels \(\displaystyle{x}\) du domaine de définition de \(\displaystyle{f}\).

La fonction f qui, à tout réel x, associe le réel \(\displaystyle{y=2x^2+1}\), est représentée de la manière suivante :

-
  • L'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) est l'ordonnée du point de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'abscisse \(\displaystyle{x}\).
  • Les antécédents de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\) sont les abscisses des points de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'ordonnées \(\displaystyle{y}\).
-

L'image de 4,5 est 1. Les antécédents de 3 sont −5 et 6.

C

Le sens et le tableau de variations

Fonction croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq f\left(y\right)}\)

Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante

-

Fonction décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq f\left(y\right)}\)

Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante

-

Fonction strictement croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \lt f\left(y\right)}\)

Toute fonction strictement croissante sur un intervalle I est également croissante sur I.

Fonction strictement décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt f\left(y\right)}\)

Toute fonction strictement décroissante sur un intervalle I est également décroissante sur I

Fonction constante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est constante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\) et s'il existe un réel \(\displaystyle{a}\) tel que, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = a}\)

Allure de la courbe représentative d'une fonction constante

On représente ci-après la fonction constante définie par, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}}\)

-

On peut résumer les variations de la fonction \(\displaystyle{f}\) à l'aide d'un tableau de variations :

  • une flèche montante signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle.
  • une flèche descendante signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle.
  • une double barre signifie que le réel correspond à une valeur interdite.
  • on note enfin les valeurs de la fonction aux réels où elle change de sens de variation.
-

Le tableau de variations de la fonction \(\displaystyle{f}\) ci-dessus, permet d'en déduire que :

  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left[ -3;-1,5 \right]}\)
  • f est croissante sur \(\displaystyle{\left[ -1,5;2 \right[}\)
  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left]2;+\infty \right[}\)
  • \(\displaystyle{f\left(- 3\right) = 5}\)
  • \(\displaystyle{f\left(- 1,5\right) = 0}\)
  • 2 est une valeur interdite
D

Le maximum et le minimum

Maximum

Le maximum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) est la plus grande valeur de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\), si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour \(\displaystyle{x=1}\).

-

Si une fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

\(\displaystyle{f\left(x\right)\leqslant f\left(a\right)}\)

Minimum

Le minimum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) est la plus petite valeur de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\), si elle existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour \(\displaystyle{x=0,75}\).

-

Si une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :

\(\displaystyle{f\left(x\right)\geqslant f\left(a\right)}\)

Attention à ne pas confondre la valeur effective du minimum ou du maximum avec la valeur de l'antécédent x réalisant ce minimum ou maximum.