Déterminer l'appartenance d'un point à une courbeMéthode

Un point M\left(x;y\right) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.

On considère la fonction f telle que, pour tout réel x, f\left(x\right) = x^2+4x-1.

Les points A\left(0;2\right) et B\left(-1;-4\right) appartiennent-ils à C_f, la courbe représentative de f ?

Etape 1

Rappeler la condition d'appartenance

On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.

  • Le point A\left(0;2\right) appartient à C_f si et seulement si 0\in D_f et f\left(0\right) = 2.
  • Le point B\left(-1;-4\right) appartient à C_f si et seulement si -1\in D_f et f\left(-1\right) = -4.
Etape 2

Rappeler l'expression de f

On rappelle l'expression de f donnée en énoncé.

Pour tout réel x :

f\left(x\right) = x^2+4x-1

Etape 3

Effectuer le calcul

On remplace la variable de l'expression de f par l'abscisse du point, et on vérifie que l'on obtient l'ordonnée du point.

Pour le point A\left(0;2\right), on a :

  • x_A=0 donc x_A\in D_f
  • f\left(x_A\right)=f\left(0 \right) = 0^2+4\times 0-1=-1 \neq y_A

Pour le point B\left(-1;-4\right), on a :

  • x_B=-1 donc x_B\in D_f
  • f\left(x_B\right)=f\left(-1 \right) = \left(-1\right)^2+4\times \left(-1\right)-1=1-4-1=-4=y_B
Etape 4

Conclure

  • Si x\in D_f et f\left(x\right) = y, alors le point M\left(x;y\right) appartient à la courbe représentative de f.
  • Sinon le point M\left(x;y\right) n'appartient pas à la courbe.

On remarque que :

  • x_A\in D_f et f\left(x_A\right) \neq y_A
  • x_B\in D_f et f\left(x_B\right)=y_B

On en déduit que A \notin C_f et que B \in C_f.