ABCD est un carré de côté 16 cm. Les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right], \left[CD \right] et \left[ DA\right] tels que AE=BF=CG=DH=x (x réel positif).
Quelle est l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFGH en fonction de x ?
Le quadrilatère EFGH est obtenu en retirant au carré ABCD quatre triangles rectangles superposables (donc de même aire).
L'aire du carré ABCD est égale à 16^{2}=256
Les quatre triangles rectangles ayant la même aire, il suffit de calculer l'aire de l'un d'entre eux, le triangle AEH par exemple.
Dans le triangle rectangle AEH, on a :
- AE=x
- AH=AD-DH=16-x
L'aire du triangle AEH est donc égale à : \dfrac{x\left(16-x\right)}{2}
Finalement, l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFGH est égale à :
A\left(x\right)=256-4\times\dfrac{x\left(16-x\right)}{2}
A\left(x\right)=256-4\times\dfrac{-x^{2}+16x}{2}
A\left(x\right)=256-2\left(-x^{2}+16x\right)
A\left(x\right)=256+2x^{2}-32x
A\left(x\right)=2x^{2}-32x+256
Quel est le domaine de définition de la fonction A ?
On sait que les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right], \left[CD \right] et \left[ DA\right]. On en déduit que : 0\leqslant AE \leqslant AB, et de même pour les longueurs BF, CG et DH.
Ce qui signifie : 0\leqslant x \leqslant 16
Le domaine de définition de A est donc : \left[0;16 \right].