Déterminer les antécédents d'un nombre par une fonction par le calcul Méthode

Sommaire

1Identifier l'expression de f 2Poser l'équation 3Résoudre l'équation

Un réel x est un antécédent d'un réel y par une fonction f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.

Pour tout réel x, on a :

f\left(x\right) = -\dfrac{1}{2}x+3

Déterminer l'(es) éventuel(s) antécédent(s) de 4 par f.

Etape 1

Identifier l'expression de f

Dans l'énoncé ou dans les questions précédentes, on cherche l'expression de f\left(x\right) pour tout réel x appartenant au domaine de définition de f.

D'après l'énoncé, pour tout réel x, f\left(x\right)= - \dfrac{1}{2}x+3.

Etape 2

Poser l'équation

Si l'on cherche les antécédents de \alpha par f, on doit résoudre dans D_f l'équation f\left(x\right) = \alpha.

Les antécédents de 4 par la fonction f sont les éventuelles solutions de l'équation f\left(x\right) = 4 dans \mathbb{R}.

Etape 3

Résoudre l'équation

On résout l'équation. Les solutions trouvées sont les antécédents de \alpha par f.

Un réel \alpha peut avoir un antécédent, plusieurs antécédents ou aucun antécédent par une fonction f. Cela dépend du nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=\alpha, avec x\in D_f.

Pour résoudre l'équation f\left(x\right) = \alpha, si l'on connaît plusieurs expressions f\left(x\right), il peut être utile de sélectionner l'expression la plus appropriée (celle qui rend la résolution de l'équation f\left(x\right) = \alpha la plus simple possible).

On résout l'équation dans \mathbb{R} :

f\left(x\right) = 4

\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x+3=4

\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x=1

\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}

\Leftrightarrow x=-2

Le seul antécédent de 4 par f est −2.