Réels et intervalles
L'ensemble des réels
Ensemble des réels
L'ensemble des réels, noté \mathbb{R}, est l'ensemble des nombres qu'il est possible de placer sur un axe orienté (appelé droite des réels).
Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres de la façon suivante :
- L'ensemble \mathbb{N} des entiers naturels est inclus dans \mathbb{Z}
- L'ensemble \mathbb{Z} des entiers relatifs est inclus dans \mathbb{D}
- L'ensemble \mathbb{D} des nombres décimaux est inclus dans \mathbb{Q}
- L'ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels est inclus dans \mathbb{R}
Les intervalles de réels
Intervalle
Soit I une partie de \mathbb{R}. On dit que I est un intervalle si à chaque fois que l'on choisit deux réels a et b de I, les réels compris entre a et b sont également dans I.
Soient deux réels a et b tels que a \lt b. On note :
- \left[a ; b\right] l'ensemble des réels tels que a \leq x \leq b
- \left]a ; b\right[ l'ensemble des réels tels que a \lt x \lt b
- \left]a ; b\right] l'ensemble des réels tels que a \lt x \leq b
- \left[a ; b\right[ l'ensemble des réels tels que a \leq x \lt b
- \left[a ; + \infty \right[ l'ensemble des réels tels que a \leq x
- \left]a ; + \infty \right[ l'ensemble des réels tels que a \lt x
- \left]- \infty ; a\right] l'ensemble des réels tels que x \leq a
- \left]- \infty ; a\right[ l'ensemble des réels tels que x \lt a
Si 3\lt x\leq 4, alors on peut écrire x\in\left]3 ;4\right].
Si x\lt8, alors on peut écrire x\in\left]-\infty;8\right[.
- + \infty se lit : "plus l'infini"
- - \infty se lit : "moins l'infini"
Soient a et b deux réels tels que a\lt b.
- L'intervalle \left[ a;b \right] est dit fermé.
- L'intervalle \left] a;b \right[ est dit ouvert.
- Les intervalles \left] a;b \right] et \left[ a;b \right[ sont dits semi-ouverts.
- Dans le cas de crochet(s) ouvert(s), a et/ou b peuvent être remplacés par -\infty et +\infty.
L'intervalle \left] -\infty;+\infty \right[ est en fait l'ensemble des réels.
Pour représenter un intervalle sur la droite des réels, on marque :
- Un crochet fermé si la borne est incluse dans l'intervalle
- Un crochet ouvert si la borne est exclue de l'intervalle
On représente ci-dessous l'intervalle \left[a ; b\right[ :
Les fonctions numériques
Principe
Fonction numérique
On appelle fonction numérique, ou simplement fonction, un procédé qui, à tout réel x d'une partie D de \mathbb{R}, associe un unique réel y. D est appelé l'ensemble de définition de la fonction numérique. Si on appelle f la fonction numérique, on note :
f\left(x\right) = y
Si l'on connaît les opérations qu'il faut effectuer pour appliquer la fonction, on peut exprimer f\left(x\right) en fonction de la variable x.
La fonction f qui à tout réel x associe la somme de son double et de 1 a pour expression f\left(x\right)=2x+1. Elle associe, à tout réel x, le réel y=2x+1.
Images et antécédents
Image
Soit f une fonction définie sur une partie D de \mathbb{R}, et x un réel de D. On appelle image de x par f le réel y qui vérifie :
f\left(x\right) = y
L'image de 5 par la fonction f définie pour tout réel x par f\left(\textcolor{Blue}{x}\right) = 2\textcolor{Blue}{x} + 1 est égale à :
f\left(\textcolor{Blue}{5}\right) = 2 \times \textcolor{Blue}{5} + 1 = 11
Antécédent
Soit f une fonction définie sur une partie D de \mathbb{R}. Soit y une des images par f obtenue à partir d'un réel de D. On appelle antécédents de y par f les réels x qui vérifient :
f\left(x\right) = y
11 est l'image de 5 par f, définie par f\left(x\right)=2x+1, donc 5 est un antécédent de 11 par f.
Soit f la fonction définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2.
4 étant à la fois l'image de 2 et de -2 par f, 4 admet deux antécédents par f.
La fonction f étant à valeurs positives, -5 n'a pas d'antécédents par f.
Etude de fonctions
Domaine de définition
Domaine de définition
On appelle ensemble ou domaine de définition de la fonction f, noté D_{f}, l'ensemble des réels qui ont une image par f.
La fonction f\left(x\right)=5x^2 est définie pour tout réel x. On note D_f=\mathbb{R}.
Valeur interdite
On appelle valeur interdite un réel dont on ne peut calculer l'image par f.
On ne peut pas calculer l'image de -1 par la fonction f\left(x\right)=\sqrt x car on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Donc -1 est une valeur interdite.
Si le réel a est une valeur interdite de la fonction f, on exclut la valeur a du domaine de définition en écrivant : D_f = \mathbb{R} \backslash \{ a \} ou D_f = \mathbb{R} - \{ a \}.
Dans le cas où f n'est pas définie en 0, on écrit communément : D_f = \mathbb{R}^{*} (lire "R étoile").
Soit f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}.
Sachant qu'on ne peut pas diviser par 0, 0 n'a pas d'image par f.
Le réel 0 est ainsi une valeur interdite de la fonction f.
La courbe représentative
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
La fonction f qui, à tout réel x, associe le réel y=2x^2+1, est représentée de la manière suivante :
- L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x.
- Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnées y.
L'image de 4,5 est 1. Les antécédents de 3 sont -5 et 6.
Le sens et le tableau de variations
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Toute fonction strictement croissante sur un intervalle I est également croissante sur I.
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Toute fonction strictement décroissante sur un intervalle I est également décroissante sur I
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) = a
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante
On représente ci-après la fonction constante définie, pour tout réel x, par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}
On peut résumer les variations de la fonction f à l'aide d'un tableau de variations :
- une flèche montante signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle.
- une flèche descendante signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle.
- une double barre signifie que le réel correspond à une valeur interdite.
- on note enfin les valeurs de la fonction aux réels où elle change de sens de variation.
Le tableau de variations de la fonction f ci-dessus, permet d'en déduire que :
- f est décroissante sur \left[ -3;-1{,}5 \right]
- f est croissante sur \left[ -1{,}5;2 \right[
- f est décroissante sur \left]2;+\infty \right[
- f\left(- 3\right) = 5
- f\left(- 1{,}5\right) = 0
- 2 est une valeur interdite
Le maximum et le minimum
Maximum
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus grande valeur de la fonction f sur I, si elle existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1.
Si une fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :
f\left(x\right)\leqslant f\left(a\right)
Minimum
Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est la plus petite valeur de la fonction f sur I, si elle existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0{,}75.
Si une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I, on a :
f\left(x\right)\geqslant f\left(a\right)
Attention à ne pas confondre la valeur effective du minimum ou du maximum avec la valeur de l'antécédent x réalisant ce minimum ou maximum.