Se connecter
ou

La continuité

I

La continuité sur un intervalle

Continuité d'une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. f est dite continue en a lorsque :

\(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\)

De plus, f est dite continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.

Considérons la fonction définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\)

On a :

  • \(\displaystyle{f\left(6\right)=2\times6+5=17}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 6}f\left(x\right)=17}\)

Donc la fonction f est continue en 6.

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur \(\displaystyle{I}\) sans lever le crayon.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels (\(\displaystyle{a \lt b}\)). On peut relier les points \(\displaystyle{A \left(a ; f\left(a\right)\right)}\) et \(\displaystyle{B \left(b ; f\left(b\right)\right)}\) sans lever le crayon, donc f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\).

-

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2.

-
  • Les fonctions usuelles (affines, polynomiales, inverse, exponentielle, logarithme, puissance,...) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), est continue sur \(\displaystyle{I}\).

Toute fonction dérivable sur \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). En revanche, la réciproque est fausse.

II

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y=k}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\)

Soit f une fonction continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\) telle que :

  • \(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{f\left(5\right)=3,5}\)

\(\displaystyle{3\in\left[0 ; 3,5\right]}\), donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe nécessairement au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = 3}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).

-

Sur le graphique ci-dessus, on remarque que la courbe représentative coupe trois fois la droite d'équation \(\displaystyle{y=3}\).

Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors \(\displaystyle{f}\) s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

III

La fonction partie entière

Partie entière

Soit un réel x. La partie entière de x est l'unique entier relatif \(\displaystyle{E\left(x\right)}\) tel que :

\(\displaystyle{E\left(x\right) \leq x \lt E\left(x\right) + 1}\)

La partie entière de 2,156 est 2.

La partie entière de −2,156 est −3.

Fonction partie entière

La fonction partie entière est la fonction f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = E\left(x\right)}\)

Soit n un entier relatif et f la fonction partie entière :

  • \(\displaystyle{f\left(n\right) = n}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to n^{-}}f\left(x\right) = n - 1 \neq f\left(n\right)}\)

Ce qui prouve que la fonction partie entière est discontinue en tout entier relatif, comme on le visualise sur sa courbe représentative :

-