La continuitéCours

I

La continuité sur un intervalle

Continuité d'une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. f est dite continue en a lorsque :

\lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)

De plus, f est dite continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.

Considérons la fonction définie pour tout réel x par :

f\left(x\right)=2x+5

On a :

  • f\left(6\right)=2\times6+5=17
  • \lim\limits_{x \to 6}f\left(x\right)=17

Donc la fonction f est continue en 6.

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

Soient a et b deux réels (a \lt b). On peut relier les points A \left(a ; f\left(a\right)\right) et B \left(b ; f\left(b\right)\right) sans lever le crayon, donc f est continue sur \left[a ; b\right].

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La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2.

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  • Les fonctions usuelles (affines, polynomiales, inverse, exponentielle, logarithme, puissance,...) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues sur un intervalle I, est continue sur I.

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. En revanche, la réciproque est fausse.

II

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f\left(c\right) = k.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation y=k sur l'intervalle \left[a;b\right]

Soit f une fonction continue sur \left[0 ; 5\right] telle que :

  • f\left(0\right)=0
  • f\left(5\right)=3,5

3\in\left[0 ; 3,5\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 3 admet au moins une solution sur \left[0 ; 5\right]. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f coupe nécessairement au moins une fois la droite d'équation y = 3 sur l'intervalle \left[0 ; 5\right].

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Sur le graphique ci-dessus, on remarque que la courbe représentative coupe trois fois la droite d'équation y=3.

Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur \left[a ; b\right], alors pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.

III

La fonction partie entière

Partie entière

Soit un réel x. La partie entière de x est l'unique entier relatif E\left(x\right) tel que :

E\left(x\right) \leq x \lt E\left(x\right) + 1

La partie entière de 2,156 est 2.

La partie entière de −2,156 est −3.

Fonction partie entière

La fonction partie entière est la fonction f définie pour tout réel x par :

f\left(x\right) = E\left(x\right)

Soit n un entier relatif et f la fonction partie entière :

  • f\left(n\right) = n
  • \lim\limits_{x \to n^{-}}f\left(x\right) = n - 1 \neq f\left(n\right)

Ce qui prouve que la fonction partie entière est discontinue en tout entier relatif, comme on le visualise sur sa courbe représentative :

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