On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 0;+\infty \right[
f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left] 0;+\infty \right[.
Continuité en 0
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=1.
De plus, pour tout réel x strictement positif, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.
On a donc \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=1
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)= f\left(0\right)
f est bien continue en 0.
On en conclut que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=1 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2}\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 0;+\infty \right[
f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que produit de fonctions continues sur \left] 0;+\infty \right[.
Continuité en 0
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=1.
De plus, pour tout réel x strictement positif, f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2}.
On a donc \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=1
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)= f\left(0\right)
f est bien continue en 0.
On en conclut que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 2; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(2\right)=6 \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=2x^2-x\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 2+\infty \right[
f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction polynôme.
Continuité en 2
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right).
Ici, on a f\left(2\right)=6.
De plus, pour tout réel x\gt2 , f\left(x\right)=2x^2-x.
On a donc \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=6
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)= f\left(2\right)
f est bien continue en 2.
On en conclut que f est continue sur \left[ 2;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 1; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(1\right)=10 \cr \cr \forall x\gt1, f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)\left(1-6x\right)\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 1;+\infty \right[
f est continue sur \left] 1;+\infty \right[ en tant que produit de fonctions continues sur \left] 1;+\infty \right[.
Continuité en 1
f est continue en 1 si et seulement si \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right).
Ici, on a f\left(1\right)=10.
De plus, pour tout réel x\gt1 , f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)\left(1-6x\right).
On a donc \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=10
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)= f\left(1\right)
f est bien continue en 1.
On en conclut que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right)\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 0;+\infty \right[
f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que produit de fonctions continues sur \left] 0;+\infty \right[.
Continuité en 0
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=0.
De plus, pour tout réel x\gt0 , f\left(x\right)=2x\left(x^5+2x\right)\left(x-1\right).
On a donc \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=0
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)= f\left(0\right)
f est bien continue en 0.
On en conclut que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[1; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(1\right)=-1 \cr \cr \forall x\gt1, f\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{x^2+1}\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 1;+\infty \right[
f est continue sur \left] 1;+\infty \right[ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left] 1;+\infty \right[.
Continuité en 1
f est continue en 1 si et seulement si \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right).
Ici, on a f\left(1\right)=-1.
De plus, pour tout réel x\gt1 , f\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{x^2+1}.
On a donc \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=-1
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)= f\left(1\right)
f est bien continue en 1.
On en conclut que f est continue sur \left[ 1;+\infty \right[.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0; +\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{x^7}{x^3+2x+1}\end{cases}
Quelle proposition justifie correctement que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[ ?
Continuité sur \left] 0;+\infty \right[
f est continue sur \left] 0;+\infty \right[ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left] 0;+\infty \right[.
Continuité en 0
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=0.
De plus, pour tout réel x\gt0 , f\left(x\right)=\dfrac{x^7}{x^3+2x+1}.
On a donc \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=0
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)= f\left(0\right)
f est bien continue en 0.
On en conclut que f est continue sur \left[ 0;+\infty \right[.