Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalleMéthode

On étudie la continuité d'une fonction sur un intervalle I en particulier lorsque l'expression de cette fonction est différente suivant les valeurs de x.

On considère la fonction f définie sur \left[ 2 ; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(2\right) = 4 \cr \cr \forall x \gt 2, \;f\left(x\right) =\dfrac{x^2-4}{x-2} \end{cases}

Etudier la continuité de la fonction f sur \left[ 2 ; +\infty \right[.

Etape 1

Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles)

D'après le cours, on sait que :

  • Les fonctions de références sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I.

On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est définie.

La fonction x \mapsto x^2-4 est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ en tant que fonction polynôme.

De même, x \mapsto x-2 est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ en tant que fonction polynôme. De plus, elle ne s'annule pas sur \left]2 ; +\infty \right[.

Par quotient, f est continue sur \left]2 ; +\infty \right[.
.

Etape 2

Justifier éventuellement la continuité aux points à problème

Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité.

Pour cela, on sait que si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right), alors la fonction f est continue en x=a.

f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right)=f\left(2\right). On a :

  • f\left(2\right) =4
  • Pour tout x\gt2, f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=x+2. Ainsi, \lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to 2}\left(x+2\right)=4.

On en déduit que :

\lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right) = f\left(2\right)

Par conséquent, la fonction f est continue en x=2.

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction f est continue.

D'après les questions précédentes, f est continue sur \left]2 ; +\infty \right[ et en x=2.

On en conclut que f est continue sur \left[2 ; +\infty \right[.