Etudier la continuité d'une fonction en un réelMéthode

Afin d'étudier la continuité d'une fonction f en un réel a, il faut comparer \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) et f\left(a\right).

On considère la fonction f définie sur \left[ 3 ; +\infty \right[ par :

\begin{cases} f\left(3\right) = 0 \cr \cr \forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3} \end{cases}

Etudier la continuité de la fonction f en 3.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle qu'une fonction f est continue en x=a si et seulement si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right).

La fonction f est continue en x=3 si et seulement si \lim\limits_{x \to 3} f\left(x\right) = f\left(3\right).

Etape 2

Calculer \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)

On calcule \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right).

On a :

\forall x \gt 3, \;f\left(x\right) = \sqrt{x-3}

Ainsi :

\lim\limits_{x \to 3}f\left(x\right) = 0

Etape 3

Rappeler la valeur de f\left(a\right)

On rappelle la valeur de f\left(a\right).

D'après l'énoncé, f\left(3\right)=0.

Etape 4

Conclure

On conclut :

  • Si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right) alors f est continue en a.
  • Si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) \neq f\left(a\right) alors f n'est pas continue en a.

Ainsi, on a :

\lim\limits_{x \to 3}f\left(x\right) = f\left(3\right)

La fonction f est donc continue en x=3.