On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 0 ?
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=0.
De plus, pour tout réel x strictement positif, f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
On a donc \lim\limits_{x \to 0^+}f\left(x\right)=+\infty
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)\neq f\left(0\right)
La fonction f n'est pas continue en 0.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(0\right)=0 \cr \cr \forall x\gt0, f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 0 ?
f est continue en 0 si et seulement si \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=f\left(0\right).
Ici, on a f\left(0\right)=0.
De plus, pour tout réel x strictement positif, f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right).
On a donc \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=-1
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)\neq f\left(0\right)
La fonction f n'est pas continue en 0.
On considère la fonction f définie sur \left[ 2;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(2\right)=\dfrac{17}{2} \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=x^3+\dfrac{1}{x}\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 2 ?
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right).
Ici, on a f\left(2\right)=\dfrac{17}{2}.
De plus, pour tout x\gt2 , f\left(x\right)=x^3+\dfrac{1}{x}.
On a donc \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=\dfrac{17}{2}
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right)
La fonction f est continue en 2.
On considère la fonction f définie sur \left[ -2;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(-2\right)=4 \cr \cr \forall x\gt-2, f\left(x\right)=x+6\end{cases}
La fonction f est-elle continue en -2 ?
f est continue en -2 si et seulement si \lim\limits_{x \to -2}f\left(x\right)=f\left(-2\right).
Ici, on a f\left(-2\right)=4.
De plus, pour tout x\gt-2 , f\left(x\right)=x+6.
On a donc \lim\limits_{x \to -2}f\left(x\right)=4
Ainsi :
\lim\limits_{x \to -2}f\left(x\right)=f\left(-2\right)
La fonction f est continue en -2.
On considère la fonction f définie sur \left[ 1;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(1\right)=0 \cr \cr \forall x\gt1, f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 1 ?
f est continue en 1 si et seulement si \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right).
Ici, on a f\left(1\right)=0.
De plus, pour tout x\gt1 , f\left(x\right)=\sqrt{x-1}.
On a donc \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=0
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right)
La fonction f est continue en 1.
On considère la fonction f définie sur \left[ 2;+\infty \right[ par :
\begin{cases} f\left(2\right)=10 \cr \cr \forall x\gt2, f\left(x\right)=x^3-2x^2+4\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 2 ?
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2}\ f\left(x\right)=f\left(2\right).
Ici, on a f\left(2\right)=10.
De plus, pour tout x\gt2 , f\left(x\right)=x^3-2x^2+4.
On a donc \lim\limits_{x \to 2}\ f\left(x\right)=4
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)\neq f\left(2\right)
La fonction f n'est pas continue en 2.
On considère la fonction f définie sur \left] -\infty;1 \right[ par :
\begin{cases} f\left(1\right)=-1 \cr \cr \forall x\lt1, f\left(x\right)=\dfrac{2x^3+5}{x-1}\end{cases}
La fonction f est-elle continue en 1 ?
f est continue en 1 si et seulement si \lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right).
Ici, on a f\left(1\right)=-1.
De plus, pour tout x\lt1 , f\left(x\right)=\dfrac{2x^3+5}{x-1}.
On a donc \lim\limits_{x \to 1^-}f\left(x\right)=-\infty
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)\neq f\left(1\right)
La fonction f n'est pas continue en 1.