Les inéquations Cours

Sommaire

ILa résolution algébrique d'inéquationsALe signe de ax + bBLes tableaux de signesIILa résolution graphique d'inéquationsAf\left(x\right) \gt aBf\left(x\right) \gt g\left(x\right)CLe signe d'une fonction
I

La résolution algébrique d'inéquations

A

Le signe de ax + b

Signe de ax+b

Soient a et b deux réels, avec a non nul.
Le signe de ax + b sur \mathbb{R} dépend du signe de a :

  • si a \gt 0, ax + b est strictement négatif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement positif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[ ;
  • si a \lt 0, ax + b est strictement positif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement négatif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[.

L'expression 3x-12 est négative sur \left] -\infty;4 \right] et positive sur \left[ 4;+\infty \right[.

L'expression -2x-18 est positive sur \left] -\infty;-9 \right] et négative sur \left[ -9;+\infty \right[.

On peut représenter le signe d'une expression à l'aide d'un tableau de signes :

  • Un signe + signifie que l'expression est positive sur cet intervalle.
  • Un signe - signifie que l'expression est négative sur cet intervalle.
Cas 1

Si a \gt 0

-

Le tableau de signes de 3x-12 est :

-
Cas 2

Si a \lt 0

-

Le tableau de signes de -2x-18 est :

-
B

Les tableaux de signes

On résout une inéquation ne pouvant se ramener à une inéquation du premier degré en passant tous les termes dans un membre, puis en factorisant (ou réduisant au même dénominateur) de manière à obtenir un produit (ou un quotient) dont on connaît le signe de chacun des facteurs.

Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d'une expression.

On détermine le signe d'un produit de facteurs ou d'un quotient à l'aide d'un tableau de signes, où chaque ligne détaille le signe d'un des facteurs. Le signe de l'expression globale se déduit colonne par colonne :

  • Si le nombre de signes - d'une colonne est pair, l'expression globale est positive sur l'intervalle correspondant.
  • Si le nombre de signes - d'une colonne est impair, l'expression globale est négative sur l'intervalle correspondant.

On se propose de résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation suivante :

\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2

Pour tout réel x :

\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2

\Leftrightarrow\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0

En reconnaissant l'identité remarquable a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right), valable pour tous les réels a et b :

\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0

\Leftrightarrow\left[ \left(3x-12\right)+\left(-2x+7\right) \right]\times\left[ \left(3x-12\right)-\left(-2x+7\right) \right]\leq0

\Leftrightarrow\left(3x-12-2x+7\right)\left(3x-12+2x-7\right)\leq0

\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(5x-19\right)\leq0

Pour déterminer les solutions, on réalise un tableau de signes du produit.

-

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : S=\left[ \dfrac{19}{5};5 \right].

II

La résolution graphique d'inéquations

A

f\left(x\right) \gt a

Solutions de f\left(x\right)\gt a

Soient une fonction f et un réel a.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a sont les abscisses des éventuels points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est strictement supérieure à a.

On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a en relevant les abscisses (par intervalles) des points de la courbe représentative de f qui sont situés au-dessus de la droite d'équation y = a.

-

L'inéquation f\left(x\right) \gt 2 admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2,13[.

De manière analogue, les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \lt a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui sont situés en dessous de la droite d'équation y = a. Les solutions sont données sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

B

f\left(x\right) \gt g\left(x\right)

Solutions de f\left(x\right)\gt g\left(x\right)

Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus du point de même abscisse de la courbe représentative de g.

-

L'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2[.

C

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \geq 0

La fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}, est positive sur \mathbb{R}. En effet, le carré d'un réel est toujours positif, quel que soit le réel.

Une fonction est positive sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc positive sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].

Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \leq 0

La fonction f\left(x\right)=-x^2 définie sur \mathbb{R}, est négative sur \mathbb{R}. En effet, l'opposé du carré d'un réel est toujours négatif, quel que soit le réel.

Une fonction est négative sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc négative sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].