La résolution algébrique d'inéquations
Le signe de ax + b
Signe de ax+b
Soient a et b deux réels, avec a non nul.
Le signe de ax + b sur \mathbb{R} dépend du signe de a :
- si a \gt 0, ax + b est strictement négatif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement positif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[ ;
- si a \lt 0, ax + b est strictement positif sur \left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[ et strictement négatif sur \left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[.
L'expression 3x-12 est négative sur \left] -\infty;4 \right] et positive sur \left[ 4;+\infty \right[.
L'expression -2x-18 est positive sur \left] -\infty;-9 \right] et négative sur \left[ -9;+\infty \right[.
On peut représenter le signe d'une expression à l'aide d'un tableau de signes :
- Un signe + signifie que l'expression est positive sur cet intervalle.
- Un signe - signifie que l'expression est négative sur cet intervalle.
Si a \gt 0
Le tableau de signes de 3x-12 est :
Si a \lt 0
Le tableau de signes de -2x-18 est :
Les tableaux de signes
On résout une inéquation ne pouvant se ramener à une inéquation du premier degré en passant tous les termes dans un membre, puis en factorisant (ou réduisant au même dénominateur) de manière à obtenir un produit (ou un quotient) dont on connaît le signe de chacun des facteurs.
Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d'une expression.
On détermine le signe d'un produit de facteurs ou d'un quotient à l'aide d'un tableau de signes, où chaque ligne détaille le signe d'un des facteurs. Le signe de l'expression globale se déduit colonne par colonne :
- Si le nombre de signes - d'une colonne est pair, l'expression globale est positive sur l'intervalle correspondant.
- Si le nombre de signes - d'une colonne est impair, l'expression globale est négative sur l'intervalle correspondant.
On se propose de résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation suivante :
\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2
Pour tout réel x :
\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2
\Leftrightarrow\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0
En reconnaissant l'identité remarquable a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right), valable pour tous les réels a et b :
\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0
\Leftrightarrow\left[ \left(3x-12\right)+\left(-2x+7\right) \right]\times\left[ \left(3x-12\right)-\left(-2x+7\right) \right]\leq0
\Leftrightarrow\left(3x-12-2x+7\right)\left(3x-12+2x-7\right)\leq0
\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(5x-19\right)\leq0
Pour déterminer les solutions, on réalise un tableau de signes du produit.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : S=\left[ \dfrac{19}{5};5 \right].
La résolution graphique d'inéquations
f\left(x\right) \gt a
Solutions de f\left(x\right)\gt a
Soient une fonction f et un réel a.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a sont les abscisses des éventuels points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est strictement supérieure à a.
On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a en relevant les abscisses (par intervalles) des points de la courbe représentative de f qui sont situés au-dessus de la droite d'équation y = a.
L'inéquation f\left(x\right) \gt 2 admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2,13[.
De manière analogue, les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \lt a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui sont situés en dessous de la droite d'équation y = a. Les solutions sont données sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
f\left(x\right) \gt g\left(x\right)
Solutions de f\left(x\right)\gt g\left(x\right)
Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus du point de même abscisse de la courbe représentative de g.
L'inéquation f\left(x\right) \gt g\left(x\right) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2[.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
La fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}, est positive sur \mathbb{R}. En effet, le carré d'un réel est toujours positif, quel que soit le réel.
Une fonction est positive sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.
La courbe représentative de la fonction est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc positive sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq 0
La fonction f\left(x\right)=-x^2 définie sur \mathbb{R}, est négative sur \mathbb{R}. En effet, l'opposé du carré d'un réel est toujours négatif, quel que soit le réel.
Une fonction est négative sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.
La courbe représentative de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle \left[ 0;2 \right]. La fonction représentée ci-dessus est donc négative sur l'intervalle \left[ 0;2 \right].