Résoudre une inéquation du type x2<a Méthode

Sommaire

Méthode 1Résolution des inéquations du type x^2\lt a 1Déterminer le signe de a 2Réciter le cours 3ConclureMéthode 2Résolution des inéquations du type x^2\gt a 1Déterminer le signe de a 2Réciter le cours 3Conclure
Méthode 1

Résolution des inéquations du type x^2\lt a

Une inéquation du type x^2 \lt a peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions en fonction du signe de a.

Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :

x^2 \lt 3

Etape 1

Déterminer le signe de a

Dans l'inéquation x ^2\lt a , on détermine si a est strictement négatif, strictement positif ou nul.

L'inéquation x^2 \lt 3 est une inéquation du type x^2 \lt a, avec a\gt 0.

Etape 2

Réciter le cours

On distingue deux cas :

  • Si a \leq 0, l'inéquation x^2 \lt a n'a pas de solution sur \mathbb{R}.
  • Si a \gt 0, x^2 \lt a \Leftrightarrow -\sqrt{a}\lt x \lt \sqrt{a}.

Si l'inéquation est large (x^2 \leq a) et si a = 0, l'inéquation admet x= 0 comme unique solution.

Pour tout réel x :

x^2 \lt 3 \Leftrightarrow -\sqrt 3\lt x \lt \sqrt 3

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S = \left] -\sqrt 3 ; \sqrt 3 \right[

Méthode 2

Résolution des inéquations du type x^2\gt a

Une inéquation du type x^2 \gt a se résout en fonction du signe de a.

Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :

x^2 \gt 12

Etape 1

Déterminer le signe de a

Dans l'inéquation x ^2 \gt a , on détermine si a est strictement négatif, strictement positif, ou nul.

L'inéquation x^2 \gt 12 est une inéquation du type x^2 \gt a, avec a\gt 0.

Etape 2

Réciter le cours

On distingue deux cas :

  • Si a \leq 0, l'inéquation x^2 \gt a est vérifiée pour tout x\in \mathbb{R}.
  • Si a \gt 0, x^2 \gt a \Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt a \cr ou \cr x\lt -\sqrt a \end{cases}

Pour tout réel x :

x^2 \gt 12

\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt{12} \cr ou \cr x\lt -\sqrt{12} \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt 2\sqrt{3} \cr ou \cr x\lt -2\sqrt{3} \end{cases}

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle ou d'une union d'intervalles.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S = \left] - \infty ; -2\sqrt3 \right[ \cup \left] 2\sqrt3 ; +\infty \right[

Si l'inéquation est du type \left(u\left(x\right)\right)^2\gt a ou \left(u\left(x\right)\right)^2\lt a, on résout de la même manière, sauf qu'après avoir récité le cours, il convient de résoudre une ou deux inéquations afin de déterminer les valeurs de x solutions.