Résoudre une inéquation produit ou quotient à l'aide d'un tableau de signesMéthode

Certaines inéquations complexes peuvent se ramener à une inéquation produit ou à une inéquation quotient. Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe du produit ou du quotient en dressant un tableau de signes.

Résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} :

\dfrac{2x-1}{x-1} \gt 3

Etape 1

Déterminer le produit / quotient dont on doit étudier le signe

On passe tous les termes du même côté de l'inégalité pour se ramener à une inéquation du type A \times B \gt 0, A \times B \lt 0, \dfrac{A}{B} \gt 0 ou \dfrac{A}{B} \lt 0.

Les symboles \gt et \lt peuvent être remplacés par les symboles \geqslant et \leqslant.

En cas d'inéquation quotient, on commence par déterminer la ou les éventuelle(s) valeur(s) interdite(s) en résolvant l'équation B =0. Ces-dernières seront éliminées dans le tableau de signes grâce à une double barre.

Ici, l'inéquation est à résoudre sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}.

On passe tous les termes du même côté de l'inégalité. Pour tout réel x\neq1 :

\dfrac{2x-1}{x-1} \gt 3

\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x-1} -3 \gt 0

\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x-1} -\dfrac{3\left(x-1\right)}{x-1} \gt 0

\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-3\left(x-1\right)}{x-1} \gt 0

\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-3x+3}{x-1} \gt 0

\Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x-1} \gt 0

On doit donc étudier le signe de \dfrac{-x+2}{x-1} pour résoudre l'inéquation.

Etape 2

Déterminer le signe de chaque facteur

Afin de déterminer le signe du produit ou quotient, on détermine d'abord le signe de chaque facteur séparément.

On étudie d'abord le signe de chaque facteur :

  • Pour tout réel x : -x+2 \gt 0 \Leftrightarrow -x \gt -2 \Leftrightarrow x \lt 2
  • Pour tout réel x : x-1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 1
Etape 3

Dresser un tableau de signes

On dresse un tableau de signes afin de déterminer le signe du produit ou du quotient.

On dresse ensuite le tableau de signes et on signifie par une double barre que x=1 est une valeur interdite.

-
Etape 4

Conclure sur les solutions de l'inéquation

On choisit dans le tableau de signes le ou les intervalle(s) sur lequel/lesquels l'inéquation est vérifiée.

Afin de déterminer si les intervalles solutions sont ouverts ou fermés, on vérifie si l'inégalité de l'inéquation est large ou stricte.

L'inéquation est vérifiée lorsque \dfrac{-x+2}{x-1} \gt 0.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S = \left]1 ; 2 \right[

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L’inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l’accès illimité aux contenus, aux corrections d’exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l’offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L’intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l’Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus