Soit un rectangle ABCD, avec AB=6 et BC=4. Le point S appartient au segment \left[DC\right], et on pose : DS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ADS est-elle au plus égale à la moitié de l'aire du triangle BCS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles ADS et BCS en fonction de x.
Sachant que le triangle ADS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 4 et à x, on a :
A\left(ADS\right)=\dfrac{4x}{2}=2x
Sachant que le triangle BCS est rectangle en C, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 4 et à 6-x , on a :
A\left(BCS\right)=\dfrac{4\left(6-x\right)}{2}=2\left(6-x\right)=12-2x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{A\left(BCS\right)}{2} :
A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{A\left(BCS\right)}{2}
\Leftrightarrow 2x\leqslant 6-x
\Leftrightarrow 3x\leqslant 6
\Leftrightarrow x\leqslant 2
De plus, le point S appartenant au segment \left[DC \right], on a : x\in \left[0;6 \right]
Pour que l'aire du triangle ADS soit au plus égale à la moitié de l'aire du triangle BCS, on doit donc avoir : x\in\left[0;2 \right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=10 et BC=5. Le point S appartient au segment \left[DC\right], et on pose : DS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ADS est-elle au plus égale au quart de l'aire du triangle BCS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles ADS et BCS en fonction de x.
Sachant que le triangle ADS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à x, on a :
A\left(ADS\right)=\dfrac{5x}{2}
Sachant que le triangle BCS est rectangle en C, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à 10-x , on a :
A\left(BCS\right)=\dfrac{5\left(10-x\right)}{2}=\dfrac{50-5x}{2}=25-\dfrac{5}{2}x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{A\left(BCS\right)}{4} :
A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{A\left(BCS\right)}{4}
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\leqslant \dfrac{25-\dfrac{5}{2}x}{4}
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\leqslant \dfrac{50-5x}{8}
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x+\dfrac{5}{8}x\leqslant \dfrac{50}{8}
\Leftrightarrow \dfrac{20}{8}x+\dfrac{5}{8}x\leqslant \dfrac{50}{8}
\Leftrightarrow \dfrac{25}{8}x\leqslant \dfrac{50}{8}
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{\dfrac{50}{8}}{\dfrac{25}{8}}
\Leftrightarrow x\leqslant {\dfrac{50}{25}}
\Leftrightarrow x\leqslant 2
De plus, le point S appartenant au segment \left[DC \right], on a : x\in \left[0;10 \right]
Pour que l'aire du triangle ADS soit au plus égale au quart de l'aire du triangle BCS, on doit donc avoir : x\in\left[0;2 \right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=12 et BC=4. Le point S appartient au segment \left[DC\right], et on pose : DS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ADS est-elle au plus égale aux deux tiers de l'aire du triangle BCS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles ADS et BCS en fonction de x.
Sachant que le triangle ADS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 4 et à x, on a :
A\left(ADS\right)=\dfrac{4x}{2}=2x
Sachant que le triangle BCS est rectangle en C, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 4 et à 12-x , on a :
A\left(BCS\right)=\dfrac{4\left(12-x\right)}{2}=\dfrac{48-4x}{2}=24-2x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{2}{3}A\left(BCS\right) :
A\left(ADS\right)\leqslant \dfrac{2}{3}A\left(BCS\right)
\Leftrightarrow 2x\leqslant \dfrac{2}{3}\left(24-2x\right)
\Leftrightarrow 2x\leqslant \dfrac{48}{3}-\dfrac{4}{3}x
\Leftrightarrow \dfrac{6}{3}x+\dfrac{4}{3}x\leqslant \dfrac{48}{3}
\Leftrightarrow \dfrac{10}{3}x\leqslant \dfrac{48}{3}
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{\dfrac{48}{3}}{\dfrac{10}{3}}
\Leftrightarrow x\leqslant {\dfrac{48}{10}}
\Leftrightarrow x\leqslant 4{,}8
De plus, le point S appartenant au segment \left[DC \right], on a : x\in \left[0;12 \right]
Pour que l'aire du triangle ADS soit au plus égale aux deux tiers de l'aire du triangle BCS, on doit donc avoir : x\in\left[0;4{,}8 \right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=9 et BC=6. Le point S appartient au segment \left[AD\right], et on pose : AS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle BAS est-elle au plus égale au quart de l'aire du triangle CDS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles BAS et CDS en fonction de x.
Sachant que le triangle BAS est rectangle en A, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 9 et à x, on a :
A\left(BAS\right)=\dfrac{9}{2}x
Sachant que le triangle CDS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 9 et à 6-x , on a :
A\left(CDS\right)=\dfrac{9\left(6-x\right)}{2}=\dfrac{54-9x}{2}=\dfrac{54}{2}-\dfrac{9}{2}x=27-\dfrac{9}{2}x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(BAS\right)\leqslant \dfrac{1}{4}A\left(CDS\right) :
A\left(BAS\right)\leqslant \dfrac{1}{4}A\left(CDS\right)
\Leftrightarrow \dfrac{9}{2}x\leqslant \dfrac{1}{4}\left(27-\dfrac{9}{2}x\right)
\Leftrightarrow \dfrac{9}{2}x\leqslant \dfrac{27}{4}-\dfrac{9}{8}x
\Leftrightarrow \dfrac{36}{8}x+\dfrac{9}{8}x\leqslant \dfrac{27}{4}
\Leftrightarrow \dfrac{45}{8}x\leqslant \dfrac{27}{4}
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{\dfrac{27}{4}}{\dfrac{45}{8}}
\Leftrightarrow x\leqslant {\dfrac{27}{4}}\times\dfrac{8}{45}
\Leftrightarrow x\leqslant 27\times\dfrac{2}{45}
\Leftrightarrow x\leqslant 1{,}2
De plus, le point S appartenant au segment \left[AD \right], on a : x\in \left[0;6 \right]
Pour que l'aire du triangle BAS soit inférieure ou égale au quart de l'aire du triangle CDS, on doit donc avoir : x\in\left[0;1{,}2 \right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=5 et BC=2. Le point S appartient au segment \left[AD\right], et on pose : AS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle BAS est-elle au moins égale au tiers de l'aire du triangle CDS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles BAS et CDS en fonction de x.
Sachant que le triangle BAS est rectangle en A, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à x, on a :
A\left(BAS\right)=\dfrac{5}{2}x
Sachant que le triangle CDS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à 2-x , on a :
A\left(CDS\right)=\dfrac{5\left(2-x\right)}{2}=\dfrac{10-5x}{2}=5-\dfrac{5}{2}x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(BAS\right)\geqslant \dfrac{1}{3}A\left(CDS\right) :
A\left(BAS\right)\geqslant \dfrac{1}{3}A\left(CDS\right)
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\geqslant\dfrac{1}{3}\left(5-\dfrac{5}{2}x\right)
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\geqslant\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{6}x
\Leftrightarrow \dfrac{15}{6}x+\dfrac{5}{6}x\geqslant\dfrac{5}{3}
\Leftrightarrow \dfrac{20}{6}x\geqslant\dfrac{5}{3}
\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{20}{6}}
\Leftrightarrow x\geqslant {\dfrac{5}{3}}\times\dfrac{6}{20}
\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{5}{10}
\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{1}{2}
De plus, le point S appartenant au segment \left[AD \right], on a : x\in \left[0;2\right]
Pour que l'aire du triangle BAS soit supérieure ou égale au tiers de l'aire du triangle CDS, on doit donc avoir : x\in\left[\dfrac{1}{2};2\right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=6 et BC=3. Le point S appartient au segment \left[AD\right], et on pose : AS=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle BAS est-elle au moins égale aux deux tiers de l'aire du triangle CDS ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles BAS et CDS en fonction de x.
Sachant que le triangle BAS est rectangle en A, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 6 et à x, on a :
A\left(BAS\right)=\dfrac{6}{2}x=3x
Sachant que le triangle CDS est rectangle en D, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 6 et à 3-x , on a :
A\left(CDS\right)=\dfrac{6\left(3-x\right)}{2}=\dfrac{18-6x}{2}=9-3x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(BAS\right)\geqslant \dfrac{2}{3}A\left(CDS\right) :
A\left(BAS\right)\geqslant \dfrac{2}{3}A\left(CDS\right)
\Leftrightarrow 3x\geqslant\dfrac{2}{3}\left(9-3x\right)
\Leftrightarrow 3x\geqslant\dfrac{18}{3}-\dfrac{6}{3}x
\Leftrightarrow 3x\geqslant6-2x
\Leftrightarrow 5x\geqslant6
\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{6}{5}
\Leftrightarrow x\geqslant 1{,}2
De plus, le point S appartenant au segment \left[AD \right], on a : x\in \left[0;3\right]
Pour que l'aire du triangle BAS soit supérieure ou égale aux deux tiers de l'aire du triangle CDS, on doit donc avoir : x\in\left[1{,}2;3\right].
Soit un rectangle ABCD, avec AB=15 et BC=5. Le point S appartient au segment \left[AB\right], et on pose : SB=x.
Pour quelle valeur de x l'aire du triangle SBC est-elle au plus égale à la moitié de l'aire du triangle SAD ?
On peut exprimer les aires respectives des triangles SBC et SAD en fonction de x.
Sachant que le triangle SBC est rectangle en B, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à x, on a :
A\left(SBC\right)=\dfrac{5}{2}x
Sachant que le triangle SAD est rectangle en A, et que les longueurs des côtés de son angle droit sont égales à 5 et à 15-x , on a :
A\left(SAD\right)=\dfrac{5\left(15-x\right)}{2}=\dfrac{75-5x}{2}=\dfrac{75}{2}-\dfrac{5}{2}x
On cherche finalement les valeurs de x telles que A\left(SBC\right)\leqslant\dfrac{1}{2}A\left(SAD\right) :
A\left(SBC\right)\leqslant\dfrac{1}{2}A\left(SAD\right)
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\leqslant\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{75}{2}-\dfrac{5}{2}x\right)
\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x\leqslant\dfrac{75}{4}-\dfrac{5}{4}x
\Leftrightarrow \dfrac{10}{4}x+\dfrac{5}{4}x\leqslant\dfrac{75}{4}
\Leftrightarrow \dfrac{15}{4}x\leqslant\dfrac{75}{4}
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{\dfrac{75}{4}}{\dfrac{15}{4}}
\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{75}{4}\times\dfrac{4}{15}
\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{75}{15}
\Leftrightarrow x\leqslant5
De plus, le point S appartenant au segment \left[AB \right], on a : x\in \left[0;15\right]
Pour que l'aire du triangle SBC soit au plus égale à la moitié de l'aire du triangle SAD, on doit donc avoir : x\in\left[0;5\right].