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Dernière modification : 15/10/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Les nombres décimaux et leurs écritures
Définition d'un nombre décimal
Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'une fraction décimale, c'est-à-dire une fraction dont le numérateur est un nombre entier et dont le dénominateur est égal à 1, 10, 100, 1 000, etc.
Le nombre \dfrac{521}{10} est un nombre décimal.
Le nombre \dfrac{23}{1\ 000} est également un nombre décimal.
Un nombre entier est un nombre décimal particulier.
53 peut s'écrire \dfrac{53}{1} qui est une fraction décimale.
Donc 53 est un nombre décimal.
Certains nombres s'écrivent avec des chiffres après la virgule, mais ne sont pas décimaux car on ne peut pas les écrire sous la forme d'une fraction décimale (les chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais).
\pi et \dfrac{1}{3} ne sont pas des nombres décimaux.
Écriture fractionnaire et écriture à virgule
Un nombre décimal peut s'écrire sous différentes formes :
| Forme du nombre décimal | Exemple |
|---|---|
| Fraction décimale | \dfrac{4\ 371}{100} |
| Somme d'un nombre entier et de fractions décimales | 43+\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{100} |
| Écriture à virgule | 43,71 |
Dans l'écriture à virgule, chaque chiffre a un nom en fonction de la position qu'il occupe dans l'écriture :
- Le premier chiffre situé à droite de la virgule s'appelle le « chiffre des dixièmes ».
- Le deuxième chiffre situé à droite de la virgule s'appelle le « chiffre des centièmes ».
- Le troisième chiffre situé à droite de la virgule s'appelle le « chiffre des millièmes ».
Dans le nombre 5,603 :
- Le chiffre des dixièmes est 6.
- Le chiffre des centièmes est 0.
- Le chiffre des millièmes est 3.
Attention à ne pas confondre le chiffre des dixièmes (respectivement des centièmes, des millièmes) avec le nombre de dixièmes (respectivement des centièmes, des millièmes).
- Dans le nombre 42,895 le chiffre des dixièmes est 8 mais le nombre de dixièmes est 428.
- Dans le nombre 1,098 le chiffre des centièmes est 9 mais le nombre de centièmes est 109.
- Dans le nombre 0,704 le chiffre des millièmes est 4 mais le nombre de millièmes est 704.
On peut visualiser grâce à un tableau de numération :
Dans le nombre 3,459 :
- le chiffre des unités est 3 ;
- le chiffre des dixièmes est 4 ;
- le chiffre des centièmes est 5 ;
- le chiffre des millièmes est 9.
Et il y a :
- 3 unités ;
- 34 dixièmes ;
- 345 centièmes ;
- 3 459 millièmes.
- Une unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes
- Un dixième = 10 centièmes = 100 millièmes
- Un centième = 10 millièmes
Les pourcentages
Pourcentage
Si a est un nombre entier, a \text{ \%} désigne la fraction décimale \dfrac{a}{100} et se lit « a pour cent ».
42 % est égal à \dfrac{42}{100} et se lit « 42 pour cent ».
Un nombre écrit sous la forme d'un pourcentage est un nombre décimal.
Le nombre 45 % s'écrit \dfrac{45}{100}.
Or, \dfrac{45}{100} est une fraction décimale. Donc 45 % est un nombre décimal.
Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'un pourcentage.
- Le nombre 0,27 peut s'écrire \dfrac{27}{100} ou encore 27 %.
- Le nombre \dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{100} peut s'écrire \dfrac{70}{100}+\dfrac{3}{100} ou encore \dfrac{73}{100} ou encore 73 %.
Manipuler les nombres décimaux
Placer ou repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
On peut placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée. Le nombre décimal permettant de repérer un point sur une demi-droite graduée s'appelle « l'abscisse » de ce point.
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur une demi-droite graduée est le nombre permettant de repérer le point sur cette demi-droite graduée.
L'abscisse du point A est égale à 1,4.
Comparer et ordonner des nombres décimaux
Comparer deux nombres décimaux signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux.
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est inférieur à b et on note a \leqslant b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est supérieur à b et on note a \geqslant b.
- 4,2 est plus petit que 7,8. On dit aussi que 4,2 est inférieur à 7,8. On a donc : 4{,}2 \lt 7{,}8 .
- 5,1 est plus grand que 0,75. On dit aussi que 7,8 est supérieur à 4,2. On a donc : 5{,}1 \gt 0{,}75.
Ranger des nombres décimaux par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :
0{,}4 \lt 0{,}7 \lt 1{,}1 \lt 1{,}6 \lt 2
Des nombres rangés dans l'ordre croissant peuvent se visualiser comme les abscisses de points placés de gauche à droite sur une demi-droite graduée.
Les points A, B, C, D et E, d'abscisses respectives 0,4 ; 0,7 ; 1,1 ; 1,6 et 2 sont placés de gauche à droite sur la demi-droite graduée ci-dessous.
Ranger des nombres décimaux par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre décroissant :
2\gt 1{,}6 \gt 1{,}1 \gt 0{,}7 \gt 0{,}4
Des nombres rangés dans l'ordre décroissant peuvent se visualiser comme les abscisses de points placés de droite à gauche sur une demi-droite graduée.
Encadrer des nombres décimaux
Encadrer un nombre décimal revient à déterminer un nombre plus petit et un nombre plus grand que ce nombre décimal.
On cherche à encadrer le nombre 1,37. On va le situer entre un nombre plus petit et un nombre plus grand.
Un encadrement possible est :
1{,}2 \lt1{,}37 \lt 1{,}8
L'encadrement d'un nombre peut se visualiser comme l'encadrement d'un point d'une demi-droite graduée entre deux points (un à sa gauche et un autre à sa droite).
Sur la demi-droite graduée ci-dessous, le point N d'abscisse 1,37 est placé entre le point M d'abscisse 1,2 et le point P d'abscisse 1,8.
Il existe une infinité d'encadrements d'un nombre décimal.
On peut également encadrer le nombre 1,37 d'autres manières :
- 0{,}2 \lt1{,}37 \lt 13{,}775
- 0 \lt1{,}37 \lt 100
- 1{,}05 \lt1{,}37 \lt 1{,}99
Encadrement à l'unité
Un encadrement d'un nombre est dit à l'unité s'il s'agit d'un encadrement entre deux nombres entiers dont la différence est égale à 1.
On a :
- 5\lt5{,}342
- 5{,}342 \lt6
- 5 et 6 sont deux nombres entiers.
- 6 - 5 = 1
Donc 5 \lt5{,}342\lt6 est bien un encadrement à l'unité de 5,342.
Encadrement au dixième
Un encadrement d'un nombre au dixième est un encadrement entre deux nombres à une décimale dont la différence est égale à un dixième.
On a :
- 5{,}3\lt5{,}342
- 5{,}342 \lt 5{,}4
- 5,3 et 5,4 sont deux nombres à une décimale.
- 5{,}4 - 5{,}3 = 0{,}1
Donc 5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 est bien un encadrement au dixième de 5,342.
Encadrement au centième
Un encadrement d'un nombre au centième est un encadrement entre deux nombres à deux décimales dont la différence est égale à un centième.
On a :
- 5{,}34 \lt 5{,}342
- 5{,}342\lt 5{,}35
- 5,34 et 5,35 sont deux nombres à deux décimales.
- 5{,}35 - 5{,}34 = 0{,}01
Donc 5{,}34\lt 5{,}342 \lt 5{,}35 est bien un encadrement au centième de 5,342.
Valeurs arrondies d'un nombre décimal
Valeur approchée
Une valeur approchée d'un nombre décimal est un nombre proche de la valeur exacte de ce nombre.
5 est une valeur approchée du nombre décimal 5,342.
5,6 est également une valeur approchée du nombre décimal 5,342.
Valeur arrondie d'un nombre à l'unité
Si on considère l'encadrement à l'unité d'un nombre décimal, on appelle « arrondi à l'unité » de ce nombre, le nombre de l'encadrement qui est le plus proche.
On veut déterminer la valeur arrondie à l'unité du nombre 32,87.
L'encadrement à l'unité du nombre 32,87 est :
32 \lt 32{,}87 \lt 33
Or, 32,87 est plus proche de 33 que de 32.
Donc la valeur arrondie à l'unité du nombre 32,87 est 33.
Valeur arrondie d'un nombre au dixième
Si on considère l'encadrement au dixième d'un nombre décimal, on appelle « arrondi au dixième » de ce nombre, le nombre de l'encadrement qui est le plus proche.
On veut déterminer la valeur arrondie au dixième du nombre 3,593.
L'encadrement au dixième du nombre 32,87 est :
3{,}5 \lt 3{,}593\lt3{,}6
Or, 3,593 est plus proche de 3,6 que de 3,5.
Donc la valeur arrondie au dixième du nombre 3,593 est 3,6.
Valeur arrondie d'un nombre au centième
Si on considère l'encadrement au centième d'un nombre décimal, on appelle « arrondi au centième » de ce nombre, le nombre de l'encadrement qui est le plus proche.
On veut déterminer la valeur arrondie au centième du nombre 15,608.
L'encadrement au centième du nombre 15,608 est :
15{,}60 \lt15{,}608 \lt 15{,}61
Or, 15,608 est plus proche de 15,61 que de 15,60.
Donc la valeur arrondie au centième du nombre 15,608 est 15,61.
On peut également donner une valeur arrondie d'un nombre qui n'est pas décimal.
Le nombre \pi n'est pas un nombre décimal. Sa valeur arrondie au centième est 3,14.
Le nombre \dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal. Sa valeur arrondie au dixième est 1,3.
Calculer avec des nombres décimaux
Additionner des nombres décimaux
Pour additionner des nombres décimaux, on pose l'addition. On aligne les nombres à additionner en plaçant tous les chiffres des unités dans la même colonne, et on commence toujours du côté droit :
- D'abord, on additionne les chiffres de la partie décimale : les millièmes aux millièmes, les centièmes aux centièmes, les dixièmes aux dixièmes.
- Puis on additionne la partie entière : les unités aux unités, les dizaines aux dizaines, les centaines aux centaines, les milliers aux milliers.
Dans une addition, on peut inverser l'ordre des termes et les regrouper.
199 + 12 = 12 + 199
On peut modifier l'ordre des termes pour regrouper des nombres et faciliter le calcul. En particulier, on peut regrouper les nombres dont la somme des parties décimales est égale à 1.
On cherche à effectuer l'addition suivante :
5{ ,}5 + 2{,}1 + 8{,}9 + 4{,}5
On peut modifier l'ordre des termes et les regrouper pour faciliter le calcul :
5{ ,}5 + 4{,}5 + 2{,}1 + 8{,}9
En effet :
5{ ,}5 + 4{,}5 = 10
2{ ,}1 + 8{,}9 = 11
On a donc :
5{ ,}5 + 2{,}1 + 8{,}9 + 4{,}5
= 5{,}5 + 4{,}5 + 2{,}1 + 8{,}9
= 10 + 11
= 21
- La somme est le résultat d'une addition.
- Les termes sont les nombres que l'on additionne.
On additionne 2{,}3 +3{,}7.
- Le résultat de cette addition est 6,2. On dit que la somme de 2,5 et 3,7 est égale à 6,2.
- Les nombres 2,5 et 3,7 sont les termes de la somme.
Soustraire des nombres décimaux
Pour soustraire des nombres décimaux, on pose la soustraction. On aligne les nombres à soustraire en alignant les chiffres des unités les uns sous les autres, et on commence toujours du côté droit :
- D'abord, on soustrait les chiffres de la partie décimale : les millièmes des millièmes, les centièmes des centièmes, les dixièmes des dixièmes.
- Puis on soustrait la partie entière : les unités des unités, les dizaines des dizaines, les centaines des centaines, les milliers des milliers.
Dans une soustraction, on ne peut pas inverser l'ordre des termes.
1{,}2 - 0{,}5 \neq 0{,}5 - 1{,}2
Calculer une différence revient à chercher un nombre manquant dans une addition à trou.
On cherche à calculer la soustraction suivante :
13{ ,}5 - 8{,}1 = ...
Cela revient à déterminer le nombre tel que :
8{,}1 + ... = 13{,}5
Dans certaines situations concrètes, notamment le rendu de monnaie, on est souvent amené à chercher le complément à l'entier supérieur. Cela revient à effectuer une soustraction.
Estelle achète plusieurs légumes à un maraîcher et lui doit 12,15 €.
Elle lui donne 13 €.
Le nombre 13 est l'entier supérieur à 12,15.
Le maraîcher doit donc lui rendre le complément de 12,15 à 13, c'est-à-dire le nombre manquant dans l'écriture :
12{ ,}15 + ...= 13
Il suffit pour cela d'effectuer la soustraction :
13 - 12{,}15
On obtient 0,85.
Le maraîcher doit lui rendre 0,85 €.
- La différence est le résultat d'une soustraction.
- Les termes sont les nombres que l'on soustrait.
On donne la soustraction : 10-5{,}3.
- Le résultat des cette soustraction est 4,7. On dit que la différence entre 10 et 5,3 est égale à 4,7.
- Les nombres 10 et 5,3 sont les termes de la différence.
Multiplier des nombres décimaux
Pour multiplier deux nombres décimaux :
- On commence par effectuer la multiplication des deux nombres entiers obtenus en enlevant la virgule des deux nombres décimaux à multiplier.
- On place ensuite la virgule dans le produit obtenu.
On veut effectuer la multiplication 12{,}7 \times 0{,}43.
On place ensuite la virgule dans le résultat, en procédant de la manière suivante :
On compte le nombre total de chiffre à droite de la virgule dans chaque nombre :
- Dans 12,7 il y en a 1.
- Dans 0,43 il y en a 2.
Cela fait en tout trois chiffres à droite de la virgule.
On place donc la virgule dans 5461 de manière à avoir trois chiffres à droite de la virgule.
Cela donne 5,461.
Dans une multiplication, on peut inverser l'ordre des facteurs. Si le calcul ne comporte que des multiplications, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper.
12{,}3 \times 44{,}1 = 44{,}1 \times 12{,}3
2{,}5 \times 18{,}1 \times4 \times2 = (2{,}5 \times4) \times(18{,}1 \times 2)
Cette propriété est très utile en calcul mental, notamment pour regrouper les facteurs décimaux dont le produit est égal à un nombre entier.
1{,}25 \times 6 \times 4 = 1{,}25 \times 4 \times 6 = 5 \times 6 = 30
- Multiplier un nombre par 0,1 revient à en prendre le dixième, c'est-à-dire à le diviser par 10, c'est-à-dire à le rendre 10 fois plus petit.
- Multiplier un nombre par 0,01 revient à en prendre le centième, c'est-à-dire à le diviser par 100, c'est-à-dire à le rendre 100 fois plus petit.
- Multiplier un nombre par 0,001 revient à en prendre le millième, c'est-à-dire à le diviser par 1 000, c'est-à-dire à le rendre 1 000 fois plus petit.
- 512{,}3 \times 0{,}1 = 512{,}3 : 10 = 51{,}23
- 125{,}7 \times 0{,}01 = 125{,}7 : 100 = 1{,}257
- 2\ 521 \times 0{,}01 = 2\ 521 : 1\ 000 = 2{,}521
La multiplication de deux nombres décimaux peut être visualisée comme le calcul de l'aire d'un rectangle avec des conversions d'unités.
On veut calculer 3{,}9 \times 2{,}7. Cela revient à calculer l'aire d'un rectangle de 3,9 cm de longueur et 2,7 cm de largeur :
L'aire de ce rectangle se calcule de la manière suivante :
3{,}9 \text{ cm} \times 2{,}7 \text{ cm} = 39 \text{ mm} \times 27 \text{ mm}
On se ramène ainsi au calcul du produit de deux nombres entiers :
39 \times 27 = 1\ 053
Donc l'aire du rectangle est égale à :
39 \text{ mm} \times 27 \text{ mm} = 1\ 053 \text{ mm}^2 = 10{,}53 \text{ cm}^2
En conclusion :
3{,}9 \times 2{,}7 = 10{,}53
- Le produit est le résultat d'une multiplication.
- Les facteurs sont les nombres que l'on multiplie.
On donne la multiplication 9{,}5 \times 2{,}3 :
- Le résultat de cette multiplication est 21,85. On dit que le produit de 9,5 par 2,3 est égal à 21,85.
- Les nombres 9,5 et 2,3 sont les facteurs du produit.
Diviser un nombre décimal par un nombre entier
Quotient d'un nombre décimal par un nombre entier
On appelle quotient d'un nombre décimal a par un nombre entier b non nul le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Le quotient de a par b se note a ÷ b.
Ainsi, on a :
(a\div b) \times b=a
La division peut donc être vue comme l'opération inverse de la multiplication.
(3{,}5 \div 5) \times 5 = 0{,}7 \times 5 = 3{,}5
Division décimale
Effectuer une division décimale d'un nombre décimal a par un nombre entier b différent de 0, c'est chercher le quotient a ÷ b de a par b.
Pour effectuer le quotient d'un nombre décimal a par un nombre entier non nul b, on procède comme dans une division entre deux entiers, mais au moment d'abaisser le chiffre des dixièmes, on rajoute une virgule au résultat.
On cherche à diviser 36,75 par 35. On commence cette division comme une division entre deux entiers :
Au moment d'abaisser le chiffre des dixièmes, on place une virgule dans le résultat.
On poursuit ensuite la division comme d'habitude.
Le quotient est 1,05 et le reste est 0.
On a donc obtenu :
36{ ,}75 = 35 \times 1{,}05 + 0
Quand on effectue le quotient d'un nombre décimal a par un nombre entier non nul b, il existe deux possibilités :
- La division décimale de a par b s'arrête quand on obtient 0. Dans ce cas, le quotient obtenu est un nombre décimal.
- La division décimale de a par b ne s'arrête pas puisqu'on n'obtient jamais de 0. Dans ce cas, le quotient obtenu n'est pas un nombre décimal.
La division 146{ ,}2 ÷ 33 ne s'arrête pas.
À partir du chiffre des centièmes du quotient, on obtient toujours les mêmes chiffres : 3, puis 0, puis 3, puis 0, puis 3, puis 0, et ainsi de suite sans jamais obtenir un reste nul.
En abaissant le dernier chiffre (le chiffre 2), on obtient un reste égal à 10.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 1.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 10.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 1.
La division ne s'arrête pas, donc le nombre 146{,}2:33 n'est pas un nombre décimal.
Le résultat 4,43 n'est alors qu'une valeur approchée du résultat.
On peut écrire :
146{,}2 ÷ 33 \approx 4{,}43
Il existe deux situations relevant d'une division : le calcul d'une part ou le calcul du nombre de parts.
On considère la situation suivante : « Si on verse 1,5 L de jus d'orange dans 8 verres de façon équitable, combien de centilitres contiendra chaque verre ? »
Il s'agit ici de calculer la quantité de jus d'orange contenue dans un verre, c'est-à-dire de calculer une part.
On considère la situation suivante : « Déterminer combien de verres de 20 cL sont contenus dans une bouteille de 1,5 L de jus d'orange ».
Il s'agit ici de calculer le nombre de verres, c'est-à-dire de calculer le nombre de parts.
L'ordre de grandeur d'un nombre décimal
On peut utiliser un ordre de grandeur d'un nombre décimal pour se donner une idée du résultat d'un calcul, notamment en calcul mental. Cela permet de vérifier rapidement qu'il n'y a pas d'erreur grossière.
Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur d'un nombre décimal est un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental.
Un ordre de grandeur du nombre 1,78 est 2. Ce nombre est facile à utiliser en calcul mental.
En remplaçant le nombre 1,78 par 2 dans la somme 5 + 1{,}78, on peut trouver un ordre de grandeur du résultat qui est 5 + 2 = 7.
Ordre de grandeur d'une somme
L'ordre de grandeur d'une somme est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque terme par un nombre proche, ce qui facilite le calcul mental de la somme. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
18{,}9 + 81{,}03 + 24{,}569
On remplace chaque terme par un nombre proche qui facilite le calcul mental :
20 + 80 + 25
Ainsi, un ordre de grandeur de la somme est :
20 + 80 + 25 = 125
Ordre de grandeur d'une différence
L'ordre de grandeur d'une différence est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque terme par un nombre proche, ce qui facilite le calcul mental de la différence. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
29{,}985 - 11{,}008
On remplace chaque terme par un nombre proche qui facilite le calcul mental :
30 - 10
Ainsi, un ordre de grandeur de la différence est :
30 - 10 = 20
Ordre de grandeur d'un produit
L'ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du produit. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
19{,}25 \times 9{,}032
Un ordre de grandeur de ce produit est :
20 \times 10 = 200
Ordre de grandeur d'un quotient
Un ordre grandeur d'un quotient est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du quotient. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
Pour calculer 25{,}54 ÷ 4{,}685, on peut écrire 25 ÷ 5 = 5.
Le résultat 5 est un ordre de grandeur du quotient.