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Les puissances d’un nombre Cours

Sommaire

ILes puissances de 10ADéfinition d'une puissance de 101Les puissances positives de 102Les puissances négatives de 10BLes propriétés des puissances de 10CLes préfixes correspondant aux puissances de 101Les préfixes correspondant aux puissances positives de 102Les préfixes correspondant aux puissances négatives de 10DL'écriture scientifiqueIILes puissances de base quelconqueADéfinition de la puissance d'un nombreBLes propriétés des puissances de base quelconque
I

Les puissances de 10

Les nombres entiers qui s'écrivent avec 1 suivi d'un ou plusieurs 0 peuvent être obtenus comme le produit de plusieurs facteurs égaux à 10. Pour indiquer rapidement le nombre de facteurs égaux à 10 d'un tel produit, on utilise les puissances de 10. Elles peuvent être positives ou négatives et ont certaines propriétés quand on les multiplie ou quand on les divise entre elles. Elles correspondent également à des préfixes et permettent de comparer des nombres plus facilement entre eux grâce à l'usage de l'écriture scientifique. 

A

Définition d'une puissance de 10

La notation abrégée permettant d'indiquer le nombre de facteurs égaux à 10 dans un produit est appelée « puissance de 10 ». Il existe des puissances positives de 10 et des puissances négatives de 10. 

1

Les puissances positives de 10

10^n est un entier dont l'écriture en chiffres est composée d'un 1 suivi de n 0.

Une puissance positive de 10

Soit n un entier positif.

La puissance n de 10 est le nombre noté 10^n défini par :

  • 10^n=1 si n=0
  • 10^n = \underbrace{10 \times 10 \times ... \times 10}_{n \text{ facteurs}} si n>0

 

L'entier n est appelé « exposant ».

10^n se lit « 10 exposant n » ou « 10 puissance n ».

10^n est appelé « puissance n-ième de 10 ».

10^0=1

10^5=10\times 10\times 10\times 10\times 10=100\, 000

10^{10}=\underbrace{10\times 10\times ...\times 10}_{10\text{ fois}}=10\, 000\, 000\, 000

Soit n un entier positif.

10^n est un entier dont l'écriture en chiffres est composée d'un 1 suivi de n 0.

10^7=10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10=10\, 000\, 000

L'écriture 10 000 000 est bien composée d'un 1 suivi de sept 0.

2

Les puissances négatives de 10

10^-n est un nombre décimal dont l'écriture en chiffres est composée d'une partie entière égale à zéro et d'une partie décimale formée de 0 suivi d'un 1 placé à la ne place après la virgule.

Une puissance négative de 10

Soit n un entier positif.

La puissance -n de 10 est le nombre noté 10^{-n} défini par :
10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}

10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{1\ 000}=0{,}001

10^{-5}=\dfrac{1}{10^5}=\dfrac{1}{100\, 000}=0{,}000\, 01

Soit n un entier positif.

L'écriture décimale de 10^{-n} a pour partie entière 0 et pour partie décimale des 0 suivis d'un 1, le chiffre 1 étant placé à la ne place après la virgule.

10^{-4}=\dfrac{1}{10^4}=\dfrac{1}{10\, 000}=0{,}000\, 1

L'écriture décimale de 10^{-4} est bien constituée d'une partie entière égale à 0 et d'une partie décimale constituée uniquement de 0 suivi d'un 1 placé à la 4e place après la virgule.

B

Les propriétés des puissances de 10

Soient n et m des entiers quelconques, on a 10^n\times 10^m=10^{n+m} et \dfrac{10^n}{10^m}=10^{n-m}.

Soient n et m des entiers quelconques. On a :

10^n\times 10^m=10^{n+m}

  • 10^8\times 10^{2}=10^{8+2}=10^{10}
  • 10^8\times 10^{-2}=10^{8+(-2)}=10^{8-2}=10^6

Soient n et m des entiers quelconques. On a :

\dfrac{10^n}{10^m}=10^{n-m}

\dfrac{10^8}{10^{2}}=10^{8-2}=10^{6}

\dfrac{10^8}{10^{-2}}=10^{8-(-2)}=10^{8+2}=10^{10}

C

Les préfixes correspondant aux puissances de 10

Il existe des préfixes correspondant aux puissances positives de 10 et des préfixes correspondant aux puissances négatives de 10.

1

Les préfixes correspondant aux puissances positives de 10

Les préfixes correspondant aux puissances positives de 10 sont notamment kilo, méga et giga.

Préfixes correspondant aux puissances positives de 10

Les premiers préfixes correspondant aux puissances positives de 10 sont les suivants :

  • 10^3 correspond au préfixe kilo ;
  • 10^6 correspond au préfixe méga ;
  • 10^9 correspond au préfixe giga.

La puissance électrique de 106 W peut s'écrire 1 MW et se lit « un mégawatt ».

La masse de 103 g correspond à 1 kilogramme, noté 1 kg.

1 kilogramme correspond à 1 000 grammes.
1 mégatonne correspond à 1 000 000 tonnes.
1 gigaoctet correspond à 1 000 000 000 octets.

2

Les préfixes correspondant aux puissances négatives de 10

Les préfixes correspondant aux puissances négatives de 10 sont notamment Milli, Micro et Nano.  

Préfixes correspondant aux puissances négatives de 10

Les premiers préfixes correspondant aux puissances négatives de 10 sont les suivants :

  • 10^{-3} correspond au préfixe milli ;
  • 10^{-6} correspond au préfixe micro ;
  • 10^{-9} correspond au préfixe nano.

Un objet de masse 10^{-3} \text{ g} est un objet pesant 1 milligramme, noté 1 mg.

Une certaine bactérie mesure 10^{-6}\text{ m}, c'est-à-dire 1 micromètre, noté 1 \mum.

1 millilitre correspond à 0,001 litre.
1 microgramme correspond à 0,000 001 gramme.
1 nanomètre correspond à 0,000 000 001 mètre.

D

L'écriture scientifique

On utilise les puissances de 10 dans l'écriture scientifique d'un nombre : il s'agit de l'unique forme a\times 10^n d'un nombre avec 1\leq a<10 et n un entier relatif. L'écriture scientifique d'un nombre peut être utilisée pour donner un ordre de grandeur de ce nombre ou bien pour le comparer à d'autres nombres. 

L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif

L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif x est l'unique forme a\times 10^n telle que :

  • x=a\times 10^n ;
  • 1\leq a<10 ;
  • n est un entier relatif.

Le nombre décimal 1 456,62 a pour écriture scientifique 1{,}456\,62\times 10^3.

Le nombre décimal 0,000 563 a pour écriture scientifique 5{,}63\times 10^{-4}.

Ordre de grandeur d'un nombre décimal

Soit x un nombre décimal dont l'écriture scientifique est a\times 10^n.

On appelle « ordre de grandeur » du nombre x la puissance de 10 la plus proche.

Le nombre décimal 789,12 a pour écriture scientifique : 7{,}8912\times 10^{2}.

10^2<7{,}8912\times 10^{2}<10^3

Comme 7,8912 est plus proche de 10 que de 1, 7{,}8912\times 10^{2} est plus proche de 10\times 10^2 que de 1\times 10^2, c'est-à-dire plus proche de 103 que de 102.

Ce nombre a donc pour ordre de grandeur 103.

L'écriture scientifique des nombres décimaux positifs peut servir à les comparer.

On cherche à comparer 5{,}4\times 10^4 et 5{,}8\times 10^{-2}.

10^4<5{,}4\times 10^4<10^5 et 10^{-2}<5{,}8\times 10^{-2}<10^{-1}

Comme 10^{-1}<10^4, on en déduit :
5{,}8\times 10^{-2}<5{,}4\times 10^4

II

Les puissances de base quelconque

Quand on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, on peut noter le résultat sous la forme d'une puissance. Ces puissances possèdent des propriétés particulières.

A

Définition de la puissance d'un nombre

Soit un nombre a. Si on le multiplie n fois par lui-même, on peut écrire le résultat sous la forme a^n.

Une puissance d'un nombre

Soit n un entier positif.
La puissance n d'un nombre a est le nombre noté a^n défini par : 

  • a^n=1 si n=0 et a\neq 0
  • a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}} si n>0

 

L'entier n est appelé « exposant ».

a^n se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».

a^n est appelé « puissance n-ième de a ».

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

L'utilisation des puissances permet de simplifier l'écriture de certains produits.

En utilisant les notations des puissances, on peut simplifier l'écriture du produit suivant :
5\times 2\times 3\times 2\times 2\times 5\times 5\times 3\times 3\times 3\times 3

En effet, ce produit est égal à :
\textcolor{Blue}{2\times 2\times 2}\times \textcolor{Red}{3\times 3\times 3\times 3\times 3}\times \textcolor{Green}{5\times 5\times 5}

Or 2\times 2\times 2=2^3, 3\times 3\times 3\times 3\times 3=3^5 et 5\times 5\times 5=5^3.

Ainsi le produit précédent peut s'écrire :
2^3\times 3^5\times 5^3

Au lieu de : 

  • « a puissance 2 », on peut dire « a au carré » ;
  • « a puissance 3 », on peut dire « a au cube ».
  • « 5 puissance 2 » se dit aussi « 5 au carré ».
  • « -7 puissance 3 » se dit aussi « -7 au cube ».
B

Les propriétés des puissances de base quelconque

Soit un nombre x=a^n, il existe des propriétés particulières quand a ou n est égal à 0 ou 1.

Soit a un nombre non nul :

a^{0} = 1

(-7)^0=1

Soit a un nombre non nul :

a^{1} = a

\left(\dfrac{1}{3}\right)^1=\dfrac{1}{3}

Pour tout entier strictement positif n :

0^n=0

0^{30}=0

Pour tout entier naturel n :

  1^n=1

 1^{150}=1

Voir aussi
  • Quiz : Les puissances d’un nombre
  • Exercice : Associer un préfixe de nano à giga à la puissance de dix correspondante
  • Exercice : Multiplier des puissances de 10
  • Exercice : Diviser des puissances de 10
  • Exercice : Encadrer un nombre en écriture scientifique par deux puissances de 10 successives
  • Exercice : Calculer une puissance d'exposant strictement positif

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