Quel est le reste de la division euclidienne de 2\ 015^{2\ 015} par 4 ?
Calcul du reste de la division euclidienne de 2015 par 4
Une division euclidienne est de la forme a = bq +r avec a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste tel que 0 \leq r \lt b.
On remarque ici que 2\ 015= 503 \times 4 +3
Donc le reste de la division euclidienne de 2015 par 4 est 3.
On en déduit que :
2\ 015 \equiv 3 \left[ 4 \right]
Calcul du reste de la division euclidienne de 2\ 015^{2\ 015} par 4
On a 2\ 015 \equiv 3\left[ 4\right].
Donc, d'après le cours :
2\ 015^{2\ 015} \equiv 3^{2\ 015} \left[ 4\right]
\Leftrightarrow 2\ 015^{2\ 015} \equiv \left(3\right)^{2\times1\ 006+3} \left[ 4 \right]
\Leftrightarrow 2\ 015^{2\ 015} \equiv \left(3^{2}\right)^{1\ 006}\times 3^3 \left[ 4 \right]
Or 3^2 = 9\equiv 1\left[ 4\right] et 3^3 = 27\equiv 3\left[ 4\right]
Donc l'équivalence précédente devient :
2\ 015^{2\ 015} \equiv \left(1\right)^{1\ 006}\times 3 \left[ 4\right]
On en déduit que :
2\ 015^{2\ 015} \equiv 3 \left[ 4\right]
Le reste de la division euclidienne de 2\ 015^{2\ 015} par 4 est 3.
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