Un chef d'établissement annonce que les résultats au bac de son établissement sont conformes à la moyenne nationale qui est de 79%. Sur les 450 élèves qui ont passé le bac, 337 l'ont obtenu.
Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des élèves devant obtenir le bac sur un tel échantillon ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des élèves devant obtenir le bac dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des élèves obtenant le BAC.
Or, ici, on a :
- n=450 car on considère un échantillon de 450 élèves.
- p=0{,}79 car l'énoncé précise qu'il y a 79% des élèves qui ont obtenu le bac.
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}79-\dfrac{1}{\sqrt{450}};0{,}79+\dfrac{1}{\sqrt{450}} \right]
f\in\left[ 0{,}743;0{,}837 \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des élèves devant obtenir le bac dans un échantillon de taille 450 est \left[ 0{,}743;0{,}837\right].
Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Ici, sur 450 élèves, il y en a 337 qui ont obtenu le bac. Calculons la fréquence des élèves ayant obtenu le bac :
\dfrac{337}{450}\approx0{,}749
Or :
0{,}749\in\left[ 0{,}743;0{,}837\right]
On ne remet donc pas en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.