Rechercher le nombre de diviseurs d'un nombre Exercice

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

• Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
• Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

8024 est divisible par 2 donc 8\ 024 = 2 \times 4\ 012.

4012 est divisible par 2 donc 4\ 012 = 2 \times 2\ 006.

2006 est divisible par 2 donc 2\ 006= 2\times 1\ 003.

1003 est divisible 17 donc 1\ 003 = 17\times 59.

Or 59 est un nombre premier.

On obtient donc :

8\ 024= 2^3\times 17\times 59

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 2^a\times 17^b \times 59^c avec 0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 1 et 0 \leq c \leq 1.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre quatre valeurs valeurs différentes, b deux valeurs et c deux valeurs. On en déduit que le nombre 8024 a :

4 \times 2 \times2 = 16 diviseurs positifs.