Quel est le reste de la division euclidienne de 6^n par 7 suivant les valeurs de n ?
On a :
6^0=0\times7+1
Or, si r est le reste de la division euclidienne de a par b, on a : a\equiv r \left[ b \right]
Donc : 6^0\equiv 1 \left[ 7 \right]
De même on a :
- 6^1\equiv 6 \left[ 7 \right]
- 6^2\equiv 1 \left[ 7 \right] car 36=5\times7+1
On remarque donc que le cycle de congruence est de longueur 2.
Soit alors n un entier naturel. n peut s'écrire sous la forme :
n = 2k + r avec 0 \leq r \lt 1 et k un entier naturel.
On a alors :
6^n=6^{2k}\times6^{r}=\left( 6^2 \right)^k\times6^r
Or, on sait que si a\equiv b \left[ n \right] alors pour tout entier k, a^k\equiv b^k \left[ n \right]
On a donc \left( 6^2 \right)^k\equiv 1 \left[ 7 \right] et donc :
6^n \equiv 6^r \left[ 7 \right]
On obtient donc la table de congruence modulo 7 suivante où la première colonne se lit "si n est congru à 0 modulo 2, alors le reste de la division euclidienne de 6^n par 7 est 1" :
| n\ce{#} \left[ 2 \right] | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 6^{n}\ce{#} \left[ 7 \right] | 1 | 6 |
Quel tableau donne correctement le reste de la division euclidienne de 5^n par 11 suivant les valeurs de n ?
Quel tableau donne correctement le reste de la division euclidienne de 2^n par 9 suivant les valeurs de n ?
Quel tableau donne correctement le reste de la division euclidienne de 3^n par 8 suivant les valeurs de n ?
Quel tableau donne correctement le reste de la division euclidienne de 4^n par 7 suivant les valeurs de n ?
Quel tableau donne correctement le reste de la division euclidienne de 9^n par 11 suivant les valeurs de n ?