En utilisant une troisième droite
Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
Montrer que \left(EH\right) // \left(BC\right).
Trouver une droite parallèle aux deux droites
On veut montrer que d_1 // d_2. On détermine une droite \Delta telle que d_1 // \Delta et d_2 // \Delta.
- La face EFGH est un rectangle, donc \left(EH\right) //\left(FG\right).
- La face FGCB est un rectangle, donc \left(FG\right) //\left(BC\right).
Ainsi, \left(EH\right) et \left(BC\right) sont toutes deux parallèles à \left(FG\right).
Conclure
On en conclut que d_1 // d_2.
\left(EH\right) et \left(BC\right) sont parallèles à une même droite. Donc \left(EH\right) // \left(BC\right).
En montrant qu'elles sont coplanaires et non sécantes
Deux droites sont parallèles si et seulement elles sont coplanaires et n'ont pas de point d'intersection.
On considère une pyramide à base carrée ABCDS. On note S son sommet. Soit I, le milieu de \left[ AS \right] et J, le milieu de \left[ BS \right].
Montrer que \left(AB\right) // \left(IJ\right).
Montrer que les droites sont coplanaires
On montre d'abord que les droites d_1 et d_2 sont coplanaires.
On réalise une figure.
I \in \left(AS\right) et J \in \left(SB\right) donc la droite \left(IJ\right) appartient au plan \left(ASB\right).
De plus, \left(AB\right) appartient au plan \left(ASB\right).
Donc \left(IJ\right) et \left(AB\right) sont coplanaires.
Montrer qu'elles n'ont pas de point d'intersection
On montre ensuite qu'elles n'ont pas de point d'intersection : elles sont donc parallèles.
Dans le triangle ABS, on a I, milieu de \left[ AS \right] et J, milieu de \left[ BS \right].
Donc, d'après le théorème des milieux, on obtient :
\left(AB\right)//\left(IJ\right)