Démontrer que deux droites sont parallèlesMéthode

Méthode 1

En utilisant une troisième droite

Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.

On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

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Montrer que \left(EH\right) // \left(BC\right).

Etape 1

Trouver une droite parallèle aux deux droites

On veut montrer que d_1 // d_2. On détermine une droite \Delta telle que d_1 // \Delta et d_2 // \Delta.

  • La face EFGH est un rectangle, donc \left(EH\right) //\left(FG\right).
  • La face FGCB est un rectangle, donc \left(FG\right) //\left(BC\right).

Ainsi, \left(EH\right) et \left(BC\right) sont toutes deux parallèles à \left(FG\right).

Etape 2

Conclure

On en conclut que d_1 // d_2.

\left(EH\right) et \left(BC\right) sont parallèles à une même droite. Donc \left(EH\right) // \left(BC\right).

Méthode 2

En montrant qu'elles sont coplanaires et non sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement elles sont coplanaires et n'ont pas de point d'intersection.

On considère une pyramide à base carrée ABCDS. On note S son sommet. Soit I, le milieu de \left[ AS \right] et J, le milieu de \left[ BS \right].

Montrer que \left(AB\right) // \left(IJ\right).

Etape 1

Montrer que les droites sont coplanaires

On montre d'abord que les droites d_1 et d_2 sont coplanaires.

On réalise une figure.

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I \in \left(AS\right) et J \in \left(SB\right) donc la droite \left(IJ\right) appartient au plan \left(ASB\right).

De plus, \left(AB\right) appartient au plan \left(ASB\right).

Donc \left(IJ\right) et \left(AB\right) sont coplanaires.

Etape 2

Montrer qu'elles n'ont pas de point d'intersection

On montre ensuite qu'elles n'ont pas de point d'intersection : elles sont donc parallèles.

Dans le triangle ABS, on a I, milieu de \left[ AS \right] et J, milieu de \left[ BS \right].

Donc, d'après le théorème des milieux, on obtient :

\left(AB\right)//\left(IJ\right)