On considère un cône de révolution de hauteur 6 cm et dont le cercle de base a pour rayon 4 cm.
Son patron est présenté ci-après.
Quel est le volume de ce cône ?
Le volume d'un cône de révolution de hauteur h et dont le rayon du cercle de base est r est égal à : \dfrac{1}{3}\times h\times\pi\times r^{2}
On a donc ici :
V=\dfrac{1}{3}\times 6\times\pi\times 4^{2}=32\pi cm3
Le volume de ce cône est donc égal à 32\pi cm3.
Quelle est la mesure de l'angle \alpha ?
L'angle \alpha est proportionnel à la longueur du secteur angulaire correspondant.
Il convient donc de déterminer au préalable :
- La longueur du secteur angulaire,
- Et le rayon x du secteur angulaire, afin de déterminer le périmètre (total) du cercle comprenant le secteur angulaire.
Longueur du secteur angulaire
La longueur du secteur angulaire est égale au périmètre de la base du cône.
La base du cône étant un cercle de rayon 4 cm, la longueur du secteur angulaire est donc égale à :
L=2\times\pi\times4=8\pi
Rayon du secteur angulaire
Pour déterminer le rayon du secteur angulaire, il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ASH.
On a donc :
x^{2}=SA^{2}=AH^{2}+SH^{2}=4^{2}+6^{2}=52
Donc x=\sqrt{52} cm
Angle du secteur angulaire
Le périmètre du cercle comprenant le secteur angulaire étant égal à 2\times\pi\times x, la relation de proportionnalité donne :
\alpha=\dfrac{360 L}{2\times\pi\times x}
\alpha=\dfrac{360\times8\pi}{2\times\pi\times \sqrt{52}}
\alpha=\dfrac{360\times4}{ \sqrt{52}}\approx200^{°}
L'angle \alpha vaut donc, au degré près, 200^{°}.