Théorème du toit - 2nde - Problème Mathématiques

Soit un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de \left[AB\right] et J le milieu de \left[AC\right].
Soit H un point du segment \left[AD\right] distinct de son milieu :

Les droites \left(HI\right) et \left(DB\right) se coupent en M.
Les droites \left(HJ\right) et \left(DC\right) se coupent en N.

Pourquoi la droite \left(IJ\right) est-elle parallèle au plan \left(BCD\right) ?

D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC on a \left(IJ\right)//\left(BC\right).

Comme I est un point de \left[AB\right] et J un point de \left[AC\right], la droite \left(IJ\right) est parallèle au plan \left(BCD\right).

Car la droite \left(IJ\right) est incluse dans le plan \left(HMN\right).

Comme les plans \left(ABC\right) et \left(BCD\right) sont sécants selon la droite \left(BC\right).

Pourquoi les droites \left(IJ\right) et \left(MN\right) sont-elles parallèles ?

D'après le théorème du toit, \left(MN\right) étant l'intersection des plans \left(BMN\right) et \left(HMN\right).

D'après le théorème des milieux dans le triangle HMN on a \left(IJ\right)//\left(MN\right).

Comme \left(IJ\right)//\left(BC\right) et \left(BC\right)//\left(MN\right).

Comme \left(IJ\right)//\left(BC\right) et \left(IJ\right) appartient au plan \left(HMN\right).