Calculer l'aire du patron d'un solide Exercice

L'aire du patron d'un cylindre est égale à la somme des aires de ses deux disques de base et de sa surface latérale.

• L'aire d'un disque de base, de rayon r, est égale à \pi r^{2}. Donc l'aire de ses deux disques vaut 2\pi r^{2}.
• Sa surface latérale est celle d'un rectangle ayant pour côtés : le périmètre du disque de base 2\pi r et la hauteur h du cylindre. Son aire vaut donc 2\pi r\times h.

Ici, on a r = 3 et h = 7. L'aire du patron du cylindre de révolution vaut donc :

\begin{aligned}A&=2\pi r\times h + 2\pi r^{2} \\ &= 2\pi \times3\times 7 + 2\pi \times3^{2} \\ &= 60\pi\end{aligned}

Comme \pi\approx3{,}14, on obtient A=188\text{ cm}^2.

L'aire du patron d'un cube est égale à la somme des aires de ses six faces.

Or chaque face est de côté c = 3, donc son aire vaut c^{2}. L'aire du cube vaut donc :

A=6 \times c^{2}=6\times3^2=6\times9=54

L'aire du patron d'une sphère est donné par la formule :

A=4\pi \times r^{2}

Ici on a donc :

A=4\pi \times r^{2}=4\pi \times 2^{2}=16\pi

Comme \pi\approx3{,}14, on obtient A=50\text{ cm}^2.

L'aire du patron d'une pyramide est égale à la somme des aires de sa surface latérale et de sa base.

• L'aire de la base est égale à A_{base}=c^{2}.
• Sa surface latérale est celle des quatre triangles isocèles dont l'un des côtés vaut 12 cm. La hauteur H relative à chacun de ces côtés, que l'on appelle l'apothème, se calcule par le théorème de Pythagore : H^{2}=h^{2}+\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2} donc H=\sqrt{h^{2}+\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}=\sqrt{8^{2}+\left(\dfrac{12}{2}\right)^{2}}=10 cm. L'aire des quatre triangles isocèles vaut A_{latérale}=4\times\dfrac{c\times\sqrt{h^{2}+\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}}{2}=2 \times c\times\sqrt{h^{2}+\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}

Ici, on a c = 12 cm et h = 8 cm. L'aire du patron de la pyramide vaut donc :

\begin{aligned}A&=A_{base}+A_{latérale} \\ &= 12^{2}+2 \times 12\times\sqrt{8^{2}+\left(\dfrac{12}{2}\right)^{2}} \\ &= 144+2 \times 12\times\sqrt{100}\\ &=384\end{aligned}

L'aire du patron d'une prisme droit est égale à la somme des aires de sa surface latérale et de sa base.

• L'aire de la base est celle des deux triangles équilatéraux. Par le théorème de Pythagore, on calcule aisément la longueur d'une hauteur H : a^{2}=H^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} donc H=\sqrt{a^{2}-\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{3a^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} cm. Donc A_{base}=2\times\dfrac{a\times H}{2}=a\times H=6\times 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}.
• Sa surface latérale est celle chacun des trois rectangles qui relient les bases. Donc A_{latérale}=3\times a\times h=3\times6\times10=180\text{ cm}^2. On peut également utiliser la formule A_{latérale}=P_{base}\times h= \left(6+6+6\right)\times10=180\text{ cm}^2.

L'aire du patron du prime droit à base triangulaire vaut donc :

\begin{aligned}A&=A_{base}+A_{latérale} \\ &= 18\sqrt{3}+180 \\ &\approx 211{,}2\end{aligned}

L'aire du patron d'un parallélépipède rectangle est égale à la somme des aires de ses six faces.

L'aire du patron vaut donc :

\begin{aligned}A&=2 \left( L\times l\right) + 2\left(l\times h\right)+ 2 \left(L\times h\right) \\ &= 2 \left( 4\times 3\right) + 2\left(3\times 2\right)+ 2 \left(4\times 2\right) \\ &= 52\end{aligned}

Le tétraèdre régulier étant un solide constitué de quatre triangles équilatéraux identiques, l'aire du patron est donc égale à la somme des aires de ces triangles.

Par le théorème de Pythagore, on calcule aisément la longueur d'une hauteur H : a^{2}=H^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} donc H=\sqrt{a^{2}-\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{3a^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}. Donc A=4\times\dfrac{a\times H}{2}=2\times a\times H=2\times a\times\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a^{2}\sqrt{3}.

Ici, on a a = 5 cm. L'aire du patron du tétraèdre régulier vaut donc :

\begin{aligned}A&=a^{2}\sqrt{3} \\ &= 5^{2}\sqrt{3} \\ &= 43\end{aligned}