En utilisant un troisième plan
Afin de montrer que deux plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles, on montre qu'ils sont tous deux parallèles à un troisième plan Q.
On considère un cube ABCDEFGH. I est le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AE \right]}\). On trace le plan P parallèle au plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) passant par I.
Montrer que P et \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) sont parallèles.
Trouver un plan parallèle aux deux premiers
On détermine un plan Q tel que \(\displaystyle{P_1 //Q}\) et \(\displaystyle{P_2 //Q}\).
- On sait que ABCDEFGH est un cube, donc les plans \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) sont parallèles.
- On sait que P est parallèle à \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\).
\(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) et P sont tous deux parallèles à \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\).
En utilisant le parallélisme de deux couples de droites sécantes des plans
Afin de montrer que deux plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles, on utilise le parallélisme de deux couples de droites sécantes des deux plans.
Montrer qu'une droite d'un des plans est parallèle à une droite de l'autre plan
On choisit une droite de \(\displaystyle{P_1}\) qui est parallèle à une droite de \(\displaystyle{P_2}\).
La face ABEF du parallélépipède est un rectangle donc \(\displaystyle{\left(AE\right) // \left(BF\right)}\).
Montrer le parallélisme de deux autres droites sécantes avec les deux premières
On choisit une deuxième droite de \(\displaystyle{P_1}\) sécante à la première et on détermine une droite de \(\displaystyle{P_2}\) qui lui est parallèle.
La face ABCD du parallélépipède est un rectangle donc \(\displaystyle{\left(AD\right) // \left(BC\right)}\).
De plus,
- \(\displaystyle{\left(AD\right)}\) et \(\displaystyle{\left(AE\right)}\) sont deux droites sécantes du plan \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\)
- et \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CF\right)}\) sont deux droites sécantes du plan \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\).
Conclure
Deux droites sécantes de \(\displaystyle{P_1}\) sont parallèles à deux droites sécantes de \(\displaystyle{P_2}\). Dans ce cas, les plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles.
Les deux droites sécantes \(\displaystyle{\left(AD\right)}\) et \(\displaystyle{\left(AE\right)}\) du plan \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\) sont parallèles aux deux droites sécantes \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CF\right)}\) du plan \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\).
Donc les plans \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\) et \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\) sont parallèles.