Afin de montrer que deux plans P_1 et P_2 sont parallèles, on montre qu'ils sont tous deux parallèles à un troisième plan Q.
On considère un cube ABCDEFGH. I est le milieu du segment \left[ AE \right]. On trace le plan P parallèle au plan \left(ABC\right) passant par I.
Montrer que P et \left(EFG\right) sont parallèles.
On détermine un plan Q tel que P_1 //Q et P_2 //Q.
On construit une figure :
\left(EFG\right) et P sont tous deux parallèles à \left(ABC\right).
Ainsi, P_1 et P_2, tous deux parallèles à Q, sont parallèles.
\left(EFG\right) et P sont parallèles à un même plan, ils sont donc parallèles.
Afin de montrer que deux plans P_1 et P_2 sont parallèles, on utilise le parallélisme de deux couples de droites sécantes des deux plans.
On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
Montrer que les plans \left(ADE\right) et \left(BCF\right) sont parallèles.
On choisit une droite de P_1 qui est parallèle à une droite de P_2.
La face ABEF du parallélépipède est un rectangle donc \left(AE\right) // \left(BF\right).
On choisit une deuxième droite de P_1 sécante à la première et on détermine une droite de P_2 qui lui est parallèle.
La face ABCD du parallélépipède est un rectangle donc \left(AD\right) // \left(BC\right).
De plus,
Deux droites sécantes de P_1 sont parallèles à deux droites sécantes de P_2. Dans ce cas, les plans P_1 et P_2 sont parallèles.
Les deux droites sécantes \left(AD\right) et \left(AE\right) du plan \left(ADE\right) sont parallèles aux deux droites sécantes \left(BC\right) et \left(CF\right) du plan \left(BCF\right).
Donc les plans \left(ADE\right) et \left(BCF\right) sont parallèles.
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