Démontrer que deux plans sont parallèlesMéthode

Méthode 1

En utilisant un troisième plan

Afin de montrer que deux plans P_1 et P_2 sont parallèles, on montre qu'ils sont tous deux parallèles à un troisième plan Q.

On considère un cube ABCDEFGH. I est le milieu du segment \left[ AE \right]. On trace le plan P parallèle au plan \left(ABC\right) passant par I.

Montrer que P et \left(EFG\right) sont parallèles.

Etape 1

Trouver un plan parallèle aux deux premiers

On détermine un plan Q tel que P_1 //Q et P_2 //Q.

On construit une figure :

-
  • On sait que ABCDEFGH est un cube, donc les plans \left(ABC\right) et \left(EFG\right) sont parallèles.
  • On sait que P est parallèle à \left(ABC\right).

\left(EFG\right) et P sont tous deux parallèles à \left(ABC\right).

Etape 2

Conclure

Ainsi, P_1 et P_2, tous deux parallèles à Q, sont parallèles.

\left(EFG\right) et P sont parallèles à un même plan, ils sont donc parallèles.

Méthode 2

En utilisant le parallélisme de deux couples de droites sécantes des plans

Afin de montrer que deux plans P_1 et P_2 sont parallèles, on utilise le parallélisme de deux couples de droites sécantes des deux plans.

On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

-

Montrer que les plans \left(ADE\right) et \left(BCF\right) sont parallèles.

Etape 1

Montrer qu'une droite d'un des plans est parallèle à une droite de l'autre plan

On choisit une droite de P_1 qui est parallèle à une droite de P_2.

La face ABEF du parallélépipède est un rectangle donc \left(AE\right) // \left(BF\right).

Etape 2

Montrer le parallélisme de deux autres droites sécantes avec les deux premières

On choisit une deuxième droite de P_1 sécante à la première et on détermine une droite de P_2 qui lui est parallèle.

La face ABCD du parallélépipède est un rectangle donc \left(AD\right) // \left(BC\right).

De plus,

  • \left(AD\right) et \left(AE\right) sont deux droites sécantes du plan \left(ADE\right)
  • et \left(BC\right) et \left(CF\right) sont deux droites sécantes du plan \left(BCF\right).
Etape 3

Conclure

Deux droites sécantes de P_1 sont parallèles à deux droites sécantes de P_2. Dans ce cas, les plans P_1 et P_2 sont parallèles.

Les deux droites sécantes \left(AD\right) et \left(AE\right) du plan \left(ADE\right) sont parallèles aux deux droites sécantes \left(BC\right) et \left(CF\right) du plan \left(BCF\right).

Donc les plans \left(ADE\right) et \left(BCF\right) sont parallèles.

Questions fréquentes

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