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Démontrer que deux plans sont parallèles

Méthode 1

En utilisant un troisième plan

Afin de montrer que deux plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles, on montre qu'ils sont tous deux parallèles à un troisième plan Q.

On considère un cube ABCDEFGH. I est le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AE \right]}\). On trace le plan P parallèle au plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) passant par I.

Montrer que P et \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) sont parallèles.

Etape 1

Trouver un plan parallèle aux deux premiers

On détermine un plan Q tel que \(\displaystyle{P_1 //Q}\) et \(\displaystyle{P_2 //Q}\).

On construit une figure :

-
  • On sait que ABCDEFGH est un cube, donc les plans \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) sont parallèles.
  • On sait que P est parallèle à \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\).

\(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) et P sont tous deux parallèles à \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\).

Etape 2

Conclure

Ainsi, \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\), tous deux parallèles à Q, sont parallèles.

\(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) et P sont parallèles à un même plan, ils sont donc parallèles.

Méthode 2

En utilisant le parallélisme de deux couples de droites sécantes des plans

Afin de montrer que deux plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles, on utilise le parallélisme de deux couples de droites sécantes des deux plans.

On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

-

Montrer que les plans \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\) et \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\) sont parallèles.

Etape 1

Montrer qu'une droite d'un des plans est parallèle à une droite de l'autre plan

On choisit une droite de \(\displaystyle{P_1}\) qui est parallèle à une droite de \(\displaystyle{P_2}\).

La face ABEF du parallélépipède est un rectangle donc \(\displaystyle{\left(AE\right) // \left(BF\right)}\).

Etape 2

Montrer le parallélisme de deux autres droites sécantes avec les deux premières

On choisit une deuxième droite de \(\displaystyle{P_1}\) sécante à la première et on détermine une droite de \(\displaystyle{P_2}\) qui lui est parallèle.

La face ABCD du parallélépipède est un rectangle donc \(\displaystyle{\left(AD\right) // \left(BC\right)}\).

De plus,

  • \(\displaystyle{\left(AD\right)}\) et \(\displaystyle{\left(AE\right)}\) sont deux droites sécantes du plan \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\)
  • et \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CF\right)}\) sont deux droites sécantes du plan \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\).
Etape 3

Conclure

Deux droites sécantes de \(\displaystyle{P_1}\) sont parallèles à deux droites sécantes de \(\displaystyle{P_2}\). Dans ce cas, les plans \(\displaystyle{P_1}\) et \(\displaystyle{P_2}\) sont parallèles.

Les deux droites sécantes \(\displaystyle{\left(AD\right)}\) et \(\displaystyle{\left(AE\right)}\) du plan \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\) sont parallèles aux deux droites sécantes \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CF\right)}\) du plan \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\).

Donc les plans \(\displaystyle{\left(ADE\right)}\) et \(\displaystyle{\left(BCF\right)}\) sont parallèles.