En janvier 2011, Lucy achète 18 actions de 3 sociétés pour un montant de 79€ :
- Orange (6€ l'action)
- Renault (3€ l'action)
- Schneider (2€ l'action)
En octobre 2011, l'action d'Orange a doublé, celle de Renault est restée constante et celle de Schneider a augmenté de 10%. Le portefeuille de Lucy contient donc 140€.
Quel est le nombre d'actions de chaque société acheté en janvier 2011 ?
Anna se rend à la banque et retire au guichet la somme de 200€. La banquière lui remet 20 billets, dont :
- Des billets de 5€
- Des billets de 10€
- Des billets de 20€
A la sortie de la banque, Anna se rend dans un magasin. Après son passage en caisse, il lui reste le quart des billets de 5€, le même nombre de billets de 10€ et le tiers de billets de 20€. Il lui reste une somme de 75€.
Combien Anna, avait-elle de billets de 5€, 10€ et 20€ à la sortie de la banque ?
Trois lycéens se rendent à la papeterie :
- Jérémy achète 3 stylos, 2 cahiers et 4 gommes ; il paie 6,30€.
- Laurent achète 5 stylos, 7 cahiers et 1 gomme ; il paie 15 €.
- Lucas achète 10 stylos, 1 cahier et 6 gommes ; il paie 6 €.
Quel est le prix unitaire de chaque article ?
Anna se rend à la banque et retire au guichet la somme de 725€. La banquière lui remet 45 billets, dont :
- Des billets de 5€
- Des billets de 10€
- Des billets de 20€
A la sortie de la banque, Anna se rend dans un magasin. Après son passage en caisse, il lui reste la moitié du nombre de billets de 10€ et la moitié du nombre de billets de 20€, toujours le même nombre de billets de 5€ et une somme totale de 375€.
Combien Anna, avait-elle de billets de 5€, 10€ et 20€ à la sortie de la banque ?
Soient a le nombre de billets de 5€, b le nombre de billets de 10€ et c lle nombre de billets de 20€.
On en déduit que les inconnues a , b et c vérifient le système d’équations suivant :
\begin{cases} a+b+c=45 \cr \cr 5a+10b+20c=725 \cr \cr 5a+10\dfrac{b}{2}+20\dfrac{c}{2}=375\end{cases}
\begin{cases} a+b+c=45 \cr \cr 5a+10b+20c=725 \cr \cr 5a+5b+10c=375\end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième équation à la troisième équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c=45 \cr \cr 5a+10b+20c=725 \cr \cr 5b+10c=350\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a+70-2c+c=45 \cr \cr 5a+10\left(70-2c\right)+20c=725 \cr \cr b= \dfrac{350-10c}{5}=70-2c\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a-c=-25 \cr \cr 5a+700-20c+20c=725 \cr \cr b=70-2c\end{cases}
On en déduit que a=5, puis en remplaçant cette valeur de a dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 5-c=-25 \cr \cr a=5 \cr \cr b=70-2c\end{cases}
On en déduit que c=30, puis en remplaçant cette valeur de c dans la dernière équation, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} c=30 \cr \cr a=5 \cr \cr b=10\end{cases}
A la sortie de la banque, Anna avait 5 billet de 5€, 10 billets de 10€ et 30 billets de 20€.
En janvier 2014, Lucas achète 10 actions de 3 sociétés pour un montant de 67€ :
- Apple (10€ l'action)
- Peugeot Citroën (5€ l'action)
- Alibaba (4€ l'action)
En novembre 2014, l'action d'Apple a doublé, celle de Peugeot Citroën a augmenté de 20% et celle d'Alibaba a diminué de 50%. Le portefeuille de Lucas contient alors 104€.
Quel est le nombre d'actions de chaque société acheté en janvier 2014 ?
Soient a le nombre d'actions d'Apple, b le nombre d'actions de Peugeot Citroën et c le nombre d'actions d'Alibaba en janvier 2014.
On en déduit que les inconnues a , b et c vérifient le système d'équations suivant :
\begin{cases} a+b+c=10\cr \cr 10a+5b+4c=67 \cr \cr 20a+6b+2c=104\end{cases}
On multiplie par 2 la deuxième équation et on soustrait membre à membre la deuxième et troisième équation afin d'éliminer l'inconnue a, on obtient :
\begin{cases} a+b+c=10\cr \cr 20a+10b+8c=134 \cr \cr 20a+6b+2c=104\end{cases}
\begin{cases} a+b+c=10\cr \cr 20a+10b+8c=134 \cr \cr 4b+6c=30\end{cases}
On exprime b en fonction de c dans la troisième équation et on remplace l'expression de b dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} a+7{,}5-1{,}5c+c=10\cr \cr 20a+10\left(7{,}5-1{,}5c\right)+8c=134 \cr \cr b=\dfrac{30-6c}{4}=7{,}5-1{,}5c\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a-0{,}5c=2{,}5\cr \cr 20a-7c=59 \cr \cr b=7{,}5-1{,}5c\end{cases}
On multiplie par 20 la première équation et on soustrait membre à membre la première et deuxième équation afin d'éliminer l'inconnue a. On obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 20a-10c=50\cr \cr 20a-7c=59 \cr \cr b=7{,}5-1{,}5c\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 20a-10c=50\cr \cr -3c=-9 \cr \cr b=7{,}5-1{,}5c\end{cases}
On en déduit que c=3, puis en remplaçant cette valeur de c dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 20a-10\left(3\right)=50\cr \cr c=3 \cr \cr b=7{,}5-1{,}5\left(3\right)\end{cases}
On en déduit que a=4 et c=3.
\Leftrightarrow \begin{cases} a=4\cr \cr c=3 \cr \cr b=3\end{cases}
En janvier 2014, Lucas a acheté 4 actions Apple, 3 actions Peugeot Citroën et 3 actions Alibaba.
Pour la fête des mères, trois amis se rendent chez la fleuriste pour composer un bouquet de fleurs.
- Le bouquet de Jordan est composé de 4 roses rouges, 2 roses blanches et 1 rose de couleur rose ; il paie 19€.
- Le bouquet de Louis est composé de 3 roses rouges, 6 roses blanches et 2 roses de couleur rose ; il paie 28€.
- Le bouquet de Lucas est composé de 6 roses rouges, 4 roses blanches et 3 roses de couleur rose ; il paie 34€.
Quel est le prix unitaire de chaque rose ?
Soient a le prix d'une rose rouge, b le prix d'une rose blanche et c le prix d'une rose de couleur rose.
On en déduit que les inconnues a , b et c vérifient le système d’équations suivant :
\begin{cases} 4a+2b+c=19\cr \cr 3a+6b+2c=28 \cr \cr 6a+4b+3c=34\end{cases}
On multiplie par 2 la deuxième équation et on soustrait membre à membre la deuxième et troisième équation afin d'éliminer l'inconnue a, on obtient :
\begin{cases} 4a+2b+c=19\cr \cr 6a+12b+4c=56 \cr \cr 6a+4b+3c=34\end{cases}
\begin{cases} 4a+2b+c=19\cr \cr 6a+12b+4c=56 \cr \cr 8b+c=22\end{cases}
On exprime c en fonction de b dans la troisième équation et on remplace l'expression de c dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+2b+22-8b=19\cr \cr 6a+12b+4\left(22-8b\right)=56 \cr \cr c=22-8b\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a-6b=-3\cr \cr 6a-20b=-32\cr \cr c=20-8b\end{cases}
On multiplie par 3 la première équation et par 2 la deuxième équation et on soustrait membre à membre la première et deuxième équation afin d'éliminer l'inconnue a. On obtient:
\Leftrightarrow \begin{cases} 12a-18b=-9\cr \cr 12a-40b=-64 \cr \cr c=20-8b\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 12a-18b=-9\cr \cr 22b=55 \cr \cr c=20-8b\end{cases}
On en déduit que b=2{,}5, puis en remplaçant cette valeur de b dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 12a-18\left(2{,}5\right)=-9\cr \cr b=2{,}5 \cr \cr c=20-8\left(2{,}5\right)\end{cases}
On en déduit que a=3 et c=2.
\Leftrightarrow \begin{cases} a=3\cr \cr b=2{,}5 \cr \cr c=2\end{cases}
Une rose rouge coûte donc 3€, une rose blanche 2,50€ et une rose de couleur rose, 2€.
Julia, Margaux et Sarah se rendent dans une pâtisserie.
- Julia achète 2 mille-feuilles, 5 éclairs au chocolat et 1 tartelette à la fraise ; elle paie 9€.
- Margaux achète 3 mille-feuilles, 10 éclairs au chocolat et 3 tartelettes à la fraise ; elle paie 17€.
- Sarah achète 2 mille-feuilles, 5 éclairs au chocolat et 4 tartelettes à la fraise ; elle paie 12€.
Quel est le prix unitaire de chaque pâtisserie?
Soient a le prix d'un mille-feuilles, b le prix d'un éclair au chocolat et c le prix d'uen tartelette à la fraise.
On en déduit que les inconnues a , b et c vérifient le système d’équations suivant :
\begin{cases} 2a+5b+c=9\cr \cr 3a+10b+3c=17 \cr \cr 2a+5b+4c=12\end{cases}
On soustrait membre à membre la première et troisième équation afin d'éliminer l'inconnue a, on obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+5b+c=9 \cr \cr 3a+10b+3c=17\cr \cr -3c=-3\end{cases}
On en déduit c=1 et on remplace sa valeur dans les deux autres équations. On obtient :
\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+5b+1=9\cr \cr 3a+10b+3\left(1\right)=17 \cr \cr c=1\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+5b=8\cr \cr 3a+10b=14\cr \cr c=1\end{cases}
On multiplie par 2 la première équation et on soustrait membre à membre la première et deuxième équation afin d'éliminer l'inconnue b. On obtient:
\Leftrightarrow \begin{cases} 4a+10b=16\cr \cr 3a+10b=14\cr \cr c=1\end{cases}
On en déduit a=2. On remplace sa valeur dans la première équation.
\Leftrightarrow \begin{cases} 4\left(2\right)+10b=16\cr \cr a=2\cr \cr c=1\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 10b=8\cr \cr a=2\cr \cr c=1\end{cases}
et on en déduit b=0{,}8.
\Leftrightarrow \begin{cases} b=0{,}8\cr \cr a=2\cr \cr c=1\end{cases}
Un mille-feuilles coûte donc 2€, un éclair au chocolat 0,80€ et une tartelette à la fraise 1€.
Trois lycéennes vont acheter des viennoiseries à la boulangerie :
- Virginie achète 3 croissants, 4 pains au chocolat et 7 brioches ; elle paie 30 €.
- Charlotte achète 5 croissants, 4 pains au chocolat et 2 brioches ; elle paie 20,50 €.
- Laura achète 6 croissants, 8 pains au chocolat et 4 brioches ; elle paie 35 €.
Quel est le prix unitaire de chaque viennoiserie ?
Soient a le prix d'un croissant, b celui d'un pain au chocolat et c le prix d'une brioche.
D'après les achats des trois lycéennes, on en déduit que les inconnues a , b et c vérifient le système d'équations suivant :
\begin{cases} 3a+4b+7c=30 \cr \cr 5a+4b+2c=20{,}5 \cr \cr 6a+8b+4c=35 \end{cases}
En soustrayant membre à membre 2 fois la première équation à la troisième équation (pour faire disparaître les inconnues a et b de la troisième équation), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 3a+4b+7c=30 \cr \cr 5a+4b+2c=20{,}5 \cr \cr -10c=-25 \end{cases}
On en déduit que c=2{,}50, puis en remplaçant cette valeur de c dans les deux autres équations, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 3a+4b+17{,}5=30 \cr \cr 5a+4b+5=20{,}5 \cr \cr c=2{,}5 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 3a+4b=12{,}50 \cr \cr 5a+4b=15{,}50 \cr \cr c=2{,}5 \end{cases}
En soustrayant membre à membre la deuxième équation par la première équation (pour faire disparaître les b), on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} 3a+4b=12{,}50 \cr \cr 2a=3 \cr \cr c=2{,}5 \end{cases}
On en déduit que a=1{,}50, puis en remplaçant cette valeur de a dans la première équation on obtient enfin la valeur de b :
\Leftrightarrow\begin{cases} 4{,}5+4b=12{,}50 \cr \cr a=1{,}5 \cr \cr c=2{,}5 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} b=2 \cr \cr a=1{,}5 \cr \cr c=2{,}5 \end{cases}
Le croissant coûte donc 1,50 € , le pain au chocolat 2 € et la brioche 2,50 € .