Quelle est la solution du système d'équations suivant dans \mathbb{R} ?
\begin{cases} 3x+y-z=-1 \cr \cr x+3y-2z=3 \cr \cr 2x+y+z=1 \end{cases}
\begin{cases} 3x+y-z=-1 \cr \cr x+3y-2z=3 \cr \cr 2x+y+z=1 \end{cases}
En exprimant z en fonction de x et y dans la première équation, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr x+3y-2z=3 \cr \cr 2x+y+z=1 \end{cases}
En remplaçant z par cette nouvelle expression (première équation) dans les deux dernières équations, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr x+3y-2\left(1+3x+y\right)=3 \cr \cr 2x+y+\left(1+3x+y\right)=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr x+3y-2-6x-2y=3 \cr \cr 5x+2y+1=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr -5x+y-2=3 \cr \cr 5x+2y+1=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr -5x+y=5 \cr \cr 5x+2y=0 \end{cases}
Les deux dernières lignes forment ainsi un système de deux équations à deux inconnues ; en additionnant membre à membre la dernière équation avec la deuxième équation, on obtient :
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr -5x+y=5 \cr \cr 3y=5 \end{cases}
On en déduit donc de la dernière équation : y= \dfrac{5}{3} .
On peut alors reporter la valeur de y dans la deuxième équation :
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3x+y \cr \cr -5x+\dfrac{5}{3}=5 \cr \cr y=\dfrac{5}{3} \end{cases}
On en déduit donc de la deuxième équation : x=-\dfrac{2}{3} .
On peut alors reporter les valeurs de x et de y dans la première équation pour enfin déterminer z :
\Leftrightarrow\begin{cases} z=1+3\left(-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{5}{3} \cr \cr x=-\dfrac{2}{3}\cr \cr y=\dfrac{5}{3} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} z=\dfrac{2}{3} \cr \cr x=-\dfrac{2}{3}\cr \cr y=\dfrac{5}{3} \end{cases}
Le système admet donc un unique triplet solution : \left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3}\right)