Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
\left(x-3\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}
\left(x-3\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}
\Leftrightarrow \left(x-3\right)^{2}-\left(2x+5\right)^{2}=0
On reconnaît une identité remarquable :
\left(x-3\right)^{2}-\left(2x+5\right)^{2}=0
\Leftrightarrow \left[ \left(x-3\right)+\left(2x+5\right) \right]\left[\left(x-3\right)-\left(2x+5\right) \right]=0
\Leftrightarrow \left(x-3+2x+5\right)\left(x-3-2x-5\right)=0
\Leftrightarrow \left(3x+2\right)\left(-x-8\right)=0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul :
\left(3x+2\right)\left(-x-8\right)=0
\Leftrightarrow 3x+2=0 ou -x-8=0
\Leftrightarrow 3x=-2 ou -x=8
\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3} ou x=-8
S= \left\{ -8;-\dfrac{2}{3}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
4\left(x+1\right)^{2}=9x^{2}
4\left(x+1\right)^{2}=9x^{2}
\Leftrightarrow4\left(x+1\right)^{2}-9x^{2}=0
\Leftrightarrow \left(2\left(x+1\right)\right)^{2}-\left(3x\right)^{2}=0
On reconnaît une identité remarquable :
\left(2\left(x+1\right)\right)^{2}-\left(3x\right)^{2}=0
\Leftrightarrow \left[ 2\left(x+1\right)+3x \right]\left[2\left(x+1\right)-3x \right]=0
\Leftrightarrow \left(2x+2+3x\right)\left(2x+2-3x\right)=0
\Leftrightarrow \left(5x+2\right)\left(-x+2\right)=0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul :
\Leftrightarrow \left(5x+2\right)\left(-x+2\right)=0
\Leftrightarrow 5x+2=0 ou -x+2=0
\Leftrightarrow 5x=-2 ou -x=-2
\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{5} ou x=2
S= \left\{ -\dfrac{2}{5};2\right\}
Résoudre l'équation suivante dans \mathbb{R} :
\left(3x-1\right)^{2}=x^{2}+x+\dfrac{1}{4}
\left(3x-1\right)^{2}=x^{2}+x+\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow \left(3x-1\right)^{2}-\left(x^{2}+x+\dfrac{1}{4}\right)=0
\Leftrightarrow \left(3x-1\right)^{2}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}=0
On reconnaît une identité remarquable :
\Leftrightarrow \left(3x-1\right)^{2}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}=0
\Leftrightarrow \left[ \left(3x-1\right)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right]\left[\left(3x-1\right)-\left(x+\dfrac{1}{2}\right) \right]=0
\Leftrightarrow \left(3x-1+x+\dfrac{1}{2}\right)\left(3x-1-x-\dfrac{1}{2}\right)=0
\Leftrightarrow \left(4x-\dfrac{1}{2}\right)\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)=0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul :
\Leftrightarrow \left(4x-\dfrac{1}{2}\right)\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)=0
\Leftrightarrow 4x-\dfrac{1}{2}=0 ou 2x-\dfrac{3}{2}=0
\Leftrightarrow 4x=\dfrac{1}{2} ou 2x=\dfrac{3}{2}
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{8} ou x=\dfrac{3}{4}
S= \left\{ \dfrac{1}{8};\dfrac{3}{4}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
4x^{2}-12x+9=0
4x^{2}-12x+9=0
On reconnaît une identité remarquable :
\Leftrightarrow \left(2x-3\right)^2=0
\Leftrightarrow 2x-3=0
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}
S= \left\{ \dfrac{3}{2}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
\left(5x+1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(5x+1\right)
\left(5x+1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(5x+1\right)
\Leftrightarrow\left(5x+1\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(5x+1\right)=0
\Leftrightarrow\left(5x+1\right)\left[ \left(5x+1\right)-\left(x-1\right) \right]=0
\Leftrightarrow\left(5x+1\right)\left[ \left(5x+1-x+1\right) \right]=0
\Leftrightarrow\left(5x+1\right)\left(4x+2\right)=0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul :
\Leftrightarrow\left(5x+1\right)\left(4x+2\right)=0
\Leftrightarrow 5x+1=0 ou 4x+2=0
\Leftrightarrow 5x=-1 ou 4x=-2
\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5} ou x=-\dfrac{1}{2}
S= \left\{ -\dfrac{1}{5};-\dfrac{1}{2}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
\left(2x-1\right)^{2}=\left(7x-2\right)^{2}
\left(2x-1\right)^{2}=\left(7x-2\right)^{2}
\Leftrightarrow \left(2x-1\right)^{2}-\left(7x-2\right)^{2}=0
\Leftrightarrow\left[\left(2x-1\right)-\left(7x-2\right) \right]\left[\left(2x-1\right)+\left(7x-2\right) \right]=0
\Leftrightarrow\left(2x-1-7x+2\right)\left(2x-1+7x-2\right) =0
\Leftrightarrow\left(-5x+1\right)\left(9x-3\right) =0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul :
\Leftrightarrow\left(-5x+1\right)\left(9x-3\right) =0
\Leftrightarrow -5x+1 =0 ou 9x-3=0
\Leftrightarrow-5x=-1 ou 9x=3
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5} ou x=\dfrac{1}{3}
S= \left\{ \dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}\right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
x+1=\sqrt{x^{2}-1}
x+1=\sqrt{x^{2}-1}
\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}
\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=x^{2}-1
\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0
\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)-\left(x-1\right) \right]=0
\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x+1-x+1\right)=0
\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(2\right)=0
\Leftrightarrow x+1 =0
\Leftrightarrow x=-1
S= \left\{ -1\right\}