Résoudre une équation comprenant plusieurs carrésMéthode

Méthode 1

En se ramenant à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2

Afin de résoudre une équation comportant plusieurs carrés, on peut se ramener à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \left(3x-1\right)^2- \left(x+4\right)^2 = 0.

Etape 1

Mettre l'équation sous la forme \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2

Si possible, on se ramène à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 en passant les expressions au carré de chaque côté de l'égalité.

On passe les expressions au carré de chaque côté de l'égalité. Pour tout réel x :

\left(3x-1\right)^2- \left(x+4\right)^2 = 0

\Leftrightarrow \left(3x-1\right)^2 =\left(x+4\right)^2

Etape 2

Réciter le cours

On récite le cours :

\left(u\left(x\right)\right)^2=\left(v\left(x\right)\right)^2 \Leftrightarrow \begin{cases} u\left(x\right)=v\left(x\right) \cr ou \cr u\left(x\right) = -v\left(x\right) \end{cases}

Or, d'après le cours, on sait que pour tout réel x :

\left(3x-1\right)^2 = \left(x+4\right)^2

\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-1= x+4 \cr ou \cr 3x-1= -\left(x+4\right) \end{cases}

Etape 3

Résoudre

On résout alors les équations :

u\left(x\right) = v\left(x\right) et u\left(x\right) = -v\left(x\right)

On en déduit les solutions de l'équation.

Or, pour tout réel x :

3x-1 = x+4

\Leftrightarrow 3x-x = 4+1

\Leftrightarrow 2x = 5

\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}

De plus, pour tout réel x :

3x-1 =-\left( x+4 \right)

\Leftrightarrow 3x-1 = -x-4

\Leftrightarrow 3x+x = -4+1

\Leftrightarrow 4x = -3

\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ -\dfrac{3}{4} ; \dfrac{5}{2} \right\}

Méthode 2

En retrouvant une identité remarquable

Afin de résoudre une équation avec plusieurs carrés, on peut parfois se ramener à une équation du type \left(u\left(x\right)\right)^2-\left(v\left(x\right)\right)^2= 0 puis utiliser une identité remarquable.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \left(2x+2\right)^2= \left(3x-2\right)^2 .

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

On passe tous les termes du même côté de l'égalité afin d'avoir une équation de la forme \left(u\left(x\right)\right)^2 -\left(v\left(x\right)\right)^2 = 0.

On passe les termes du même côté. Pour tout réel x :

\left(2x+2\right)^2= \left(3x-2\right)^2

\Leftrightarrow \left(2x+2\right)^2- \left(3x-2\right)^2 =0

Etape 2

Réciter l'identité remarquable

Rappeler que quels que soient les réels a et b, on a : a^2-b^2 =\left(a-b\right)\left(a+b\right).

Or on sait que, quels que soient les réels a et b :

a^2-b^2 =\left(a-b\right)\left(a+b\right)

Etape 3

Factoriser

On transforme donc l'équation :

\left(u\left(x\right)\right)^2-\left(v\left(x\right)\right)^2 =0

\Leftrightarrow\left[ u\left(x\right) - v\left(x\right)\right]\times \left[ u\left(x\right) + v\left(x\right)\right] =0

On en déduit que, pour tout réel x :

\left(2x+2\right)^2 - \left(3x-2\right)^2 = \left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right]

L'équation devient :

\left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right] = 0

Etape 4

Simplifier les facteurs

L'équation \left[ u\left(x\right) - v\left(x\right)\right]\times \left[ u\left(x\right) + v\left(x\right)\right] = 0 est une équation produit nul. On simplifie chaque facteur de l'équation.

On simplifie l'équation. Pour tout réel x :

\left[ \left(2x+2\right) - \left(3x-2\right) \right] \times \left[ \left(2x+2\right) + \left(3x-2\right) \right] = 0

\Leftrightarrow \left( 2x+2 - 3x+2 \right) \times \left( 2x+2+ 3x-2\right) = 0

\Leftrightarrow \left( -x+4 \right) \times \left( 5x\right) = 0

Etape 5

Résoudre l'équation

On récite le cours : "un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul".

On peut alors résoudre l'équation.

Or, un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

D'où, pour tout réel x :

\left( -x+4 \right) \times \left( 5x\right) = 0

\Leftrightarrow -x+4=0 \; ou \; 5x=0

\Leftrightarrow x=4 \; ou \; x=0

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ 0;4 \right\}

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