Mesure de la masse de Jupiter et du Soleil, centres étrangers 2022 Exercice type bac

En 1610, Galilée a été le premier à observer les quatre principaux satellites de Jupiter (Io, Europe, Ganymède et Callisto) en utilisant une lunette astronomique qu'il avait lui-même fabriquée.

Les lunettes de Galilée (musée de Florence)

À la suite de Galilée, les observations de ces quatre satellites ont permis de réaliser les mesures regroupées dans le tableau ci-dessous :

Satellite	Période de révolution T en jours (j)	Demi-grand axe a de la trajectoire elliptique (\times 10^5 \text{ km})
Io	1,75	4,22
Europe	3,55	6,71
Ganymède	7,16	10,7
Callisto	16,7	18,8

À l'aide d'un tableur, on a positionné les mesures dans un graphique donnant les variations de T^2 en fonction de celles de a^3 pour les quatre satellites de Jupiter. Le tableur permet de superposer à ces points de mesure une modélisation par une droite (cf. figure 1 ci-dessous).

$Figure 1. $\displaystyle{T^2}$ en fonction de $\displaystyle{a^3}$$

Figure 1. T^2 en fonction de a^3

Donnée : Constante de gravitation universelle G=6{,}67.10^{-11} \text{ m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}

Exploitation des résultats expérimentaux

À partir des résultats expérimentaux (figure 1), quelle relation existe entre T² et a³ pour les quatre satellites de Jupiter et quel est le nom de la loi correspondante (établie en 1618) ?

T^2 est proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 3^e loi de Kepler.

T^2 est inversement proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 2^e loi de Kepler.

a^3 est inversement proportionnelle à T^2, ce qui correspond à la 2^e loi de Galilée.

a^3 est proportionnelle à T^2, ce qui correspond à la 2^e loi de Galilée.

Modélisation du mouvement d'un satellite de Jupiter

On se place dans le cadre théorique de la mécanique de Newton (publiée en 1687) pour retrouver la relation évoquée dans la question 1 et déterminer la masse M_J de Jupiter. On étudie le mouvement du satellite dans le référentiel joviocentrique (centré sur Jupiter), supposé galiléen. On fait l'approximation que le mouvement du centre S du satellite est circulaire, centré sur le centre J de Jupiter, et on considère que la seule force qui s'applique sur le satellite est la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite.

On désigne par r la distance entre les centres des deux astres, par M_J la masse de Jupiter et par m la masse du satellite.

Figure 2.

Quelle est l'expression de la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite en fonction de M_J, m, G, r et \overrightarrow{n}.

\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2} \overrightarrow{n}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G_n \times \dfrac{m \times M_J}{r} \overrightarrow{n}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G_n \times \dfrac{m \times M_J^2}{r}

Dans quelle proposition applique-t-on correctement la deuxième loi de Newton et, par déduction, quelle est l'expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, M_J et r ?

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{n})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r}}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}n\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{t})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r^2}}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{n})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \dfrac{G.M_J }{r}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{n}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{t})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \dfrac{G.M_J }{r^2}

Dans quelle proposition en déduit-on correctement que, dans le cadre de l'approximation du mouvement circulaire, le quotient \dfrac{T^2}{r^3} est égal à \dfrac{4\pi^2}{G.M_J} ?

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{2\pi r}{T} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{T}{2\pi r} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{T^2}{4\pi^2 r^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{2\pi T}{r} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{4\pi^2 T^2}{r^2} = \frac{G \times M_J}{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{r}{2\pi T} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{r^2}{4\pi^2 T^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J } .

D'après les résultats expérimentaux, quelle est la valeur de la masse M_J de Jupiter ?

Aide éventuelle : 1 \text{ j}^2 \text{km}^{-3} = 7{,}46 \text{ s}^2 \text{m}^{-3}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J } et k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.
D'où :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k} =\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} } =1{,}9.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{G \times M_J } {4\pi^2} et k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.

D'où :
M_J = \frac{G \times k}{4\pi^2 } =\frac{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} }{4\pi^2} =1{,}9.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{G \times M_J } {4\pi^2} et k=2{,}4.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=2{,}4.10^{-17} \times 7{,}46 = 1{,}3.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.

D'où :
M_J = \frac{G \times k}{4\pi^2 } =\frac{6{,}67.10^{-11} \times 1{,}3.10^{-16} }{4\pi^2} =9{,}1.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J } et k=2{,}4.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^3=2{,}4.10^{-17} \times 7{,}46 = 1{,}3.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^3.

D'où :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k} =\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 1{,}3.10^{-16} } =9{,}1.10^{27} \text{ kg}

La relation établie à la question 5 pour le système composé de Jupiter et de ses satellites est universelle et est applicable à d'autres systèmes constitués de satellites en orbite autour d'un astre central.

Donnée : la distance entre la Terre et le Soleil est de 150 millions de kilomètres.

Quelle est la masse du Soleil ?

M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 } = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 } = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}

M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 } = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^6)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 } = 2{,}01 .10^{27} \text{ kg}

M_S = \frac{G \times T^2 }{4\pi^2 \times a^3 } = \frac{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 } = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}

M_S = \frac{G \times T^2 }{4\pi^2 \times a^3 } = \frac{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }{4\pi^2 \times (150 .10^6)^3 } = 2{,}01 .10^{27} \text{ kg}