La deuxième loi de Newton appliquée à un corps en orbite circulaire autour d'un astre permet de montrer que son mouvement est uniforme.
On considère un corps en orbite circulaire autour d'un astre. Montrer que le mouvement du corps est uniforme.
Exprimer vectoriellement la force d'attraction gravitationnelle subie par le corps
On exprime vectoriellement la force d'attraction gravitationnelle subie par le corps.
La force d'attraction gravitationnelle subie par le corps est colinéaire au vecteur \overrightarrow{u_N} :
L'expression vectorielle de force d'attraction gravitationnelle subie par le corps est donc la suivante :
\overrightarrow{F_{A/C}}= G\times \dfrac{M_A\times M_C}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
Où :
- M_A et M_C sont les masses respectives de l'astre et du corps en orbite
- r est le rayon de l'orbite circulaire
Rappeler les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile
On rappelle les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile.
Dans le repère mobile \left(C, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a} du corps mobile M sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r}\end{cases}
Appliquer la deuxième loi de Newton
On applique la deuxième loi de Newton au corps en orbite afin de déterminer les composantes de son vecteur accélération.
On applique la deuxième loi de Newton au corps en orbite dans le repère mobile :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = M_C \times \overrightarrow{a}
M_C \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/C}}= G\times\dfrac{M_A \times M_C}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
\overrightarrow{a} = G\times\dfrac{M_A }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
Soit :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{r} = G\times\dfrac{M_A }{r^2} \end{cases}
En déduire que la vitesse du corps est constante
En se référant à la valeur de la composante tangentielle de l'accélération, on conclut que la vitesse du corps est constante et donc que son mouvement est uniforme.
La composante tangentielle de l'accélération est donc nulle :
a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0
On en déduit que la vitesse du corps est constante et donc que son mouvement est uniforme.