Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire Méthode

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la planète et reste donc constamment au-dessus d'un même point de la surface de la planète. Sa période de révolution, dans le référentiel géocentrique, doit être égale à celle de la Terre, soit 24 heures.

D'après la troisième loi de Kepler, le rapport \dfrac{T^2}{r^3} est identique pour tous les corps en orbite autour d'un même astre.

On peut montrer que sa valeur est égale à \dfrac{4 \pi^2}{G\times M} où M est la masse de l'astre attracteur.

Dans le cas d'un satellite en orbite autour de la Terre, on a donc :

\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G\times M_T}

Le satellite étant situé à une altitude h, le rayon de son orbite, distance entre lui et le centre de la Terre, est r=R_T + h.

La troisième loi de Kepler s'écrit donc :

\dfrac{T^2}{(R_T+h)^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G\times M_T}

Il faut maintenant isoler h. On commence par écrire la relation dans laquelle les deux termes sont inversés (pour que h soit au numérateur) :

\dfrac{(R_T+h)^3}{T^2} = \dfrac{G\times M_T}{4 \pi^2}

D'où :

(R_T+h)^3 = T^2 \times\dfrac{G\times M_T}{4 \pi^2}

R_T + h =\sqrt[3]{\frac{T^2\times G \times M_T }{4 \pi^2}}

h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}

On doit convertir :

• la période en secondes : T=24 \text{ h}=24 \times 3 \ 600 \text{ s} ;
• le rayon de la Terre en mètres : R_T = 6 \ 370 \text{ km} = 6 \ 370.10^3 \text{ m} .

L'application numérique est alors :

h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67.10^{-11} \times 5{,}98.10^{24} \times \left(24 \times 3\ 600\right)^2 }{4 \pi^2}} - 6\ 370.10^3

D'où :

h = 3{,}59.10^7 \text{ m}

On a :

h = 3{,}59.10^7 \text{ m}= 3{,}59.10^4 \text{ km}

L'altitude d'un satellite géostationnaire est donc d'environ 3{,}59. 10^4 \text{ km}.