Un joueur lance une balle de pétanque d'une hauteur h = 1{,}5 \text{ m} avec une vitesse initiale V_0 = 0{,}4\text{ m/s} et un angle \alpha = 0 par rapport à l'horizontale.
On détermine l'équation horaire de la balle de pétanque :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = v_{0} \times \cos(\alpha) \times t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times t + h \cr \end{cases}
Quelle est la position de la balle à t = 0{,}5\text{ s} ?
Donnée : accélération de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-2}
À l'aide des équations horaires du mouvement, il est possible de déterminer la position de la balle à un instant donné. On a ainsi :
\overrightarrow{OM\left(t = 0{,}5\text{ s}\right)} \begin{cases} x(t = 0{,}5\text{ s}) = 0{,}4\times \cos(0) \times 0{,}5\cr \cr y(t = 0{,}5\text{ s}) =-\dfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times (0{,}5)^2 + 0{,}4\times \sin(0) \times 20+ 1{,}5 \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 0{,}5\text{ s}\right)} \begin{cases} x(t = 0{,}5\text{ s}) =0{,}2 \text{ m} \cr \cr y(t = 0{,}5\text{ s}) =0{,}3 \text{ m} \cr \end{cases}
Un joueur tape une balle de tennis à une hauteur h = 1{,}5 \text{ m} avec une vitesse V = 50\text{ m/s} et un angle \alpha = 45° par rapport à l'horizontale.
On détermine l'équation horaire de la balle de tennis :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = v_{0x} \times \cos(\alpha) \times t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0y} \times \sin(\alpha) \times t + h \cr \end{cases}
Quelle est la position de la balle à t = 0{,}2\text{ s} ?
Donnée : accélération de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-2}
La vitesse avec laquelle le joueur de tennis tape la balle est la vitesse initiale de cette balle, par conséquent v_0 = V = 50 \text{ m.s}^{-1}.
À l'aide des équations horaires du mouvement, il est possible de déterminer la position de la balle à un instant donné. On a ainsi :
\overrightarrow{OM\left(t = 0{,}2\text{ s}\right)} \begin{cases} x(t = 0{,}2\text{ s}) = 50\times \cos(45) \times 0{,}2\cr \cr y(t = 0{,}2 \text{ s}) =-\dfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times (0{,}2)^2 + 50\times \sin(45) \times 0{,}2+ 1{,}5 \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 0{,}2\text{ s}\right)} \begin{cases} x(t = 0{,}2\text{ s}) =7{,}1\text{ m} \cr \cr y(t = 0{,}2\text{ s}) =8{,}4\text{ m} \cr \end{cases}
Un proton est placé sur l'origine du repère sans vitesse initiale dans un condensateur plan engendrant un champ électrostatique \overrightarrow{E} = E .\overrightarrow{u_x} avec E = 200 \text{ V.m}^{-1}.
On détermine l'équation horaire du proton dans le champ électrostatique :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{q\times E}{m}\times t^2 \cr \cr y(t) =v_0 \times t \cr \end{cases}
Quelle est la position du proton à t = 3 \mu\text{s} ?
Données :
- Charge élémentaire : q_E = 1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}
- Masse d'un proton : m_P = 1{,}67 \times 10^{-27} \text{ kg}
La particule subissant le champ électrostatique est un proton, par conséquent il possède une charge q = q_E.
À l'aide des équations horaires du mouvement, il est possible de déterminer la position du proton à un instant donné. On a ainsi :
\overrightarrow{OM\left(t = 3 \mu \text{s}\right)} \begin{cases} x(t = 3\mu\text{s}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{q_E\times E}{m_P}\times t^2 \cr \cr y(t = 3\mu\text{s}) =v_0 \times t \cr \end{cases}
Soit :
\overrightarrow{OM\left(t = 3\mu \text{s}\right)} \begin{cases} x(t = 3\mu\text{s}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1{,}60 \times 10^{-19}\times 200}{1{,}67 \times 10^{-27}}\times (3 \times 10^{-6})^2 \cr \cr y(t = 3\mu\text{s}) = 0 \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 3\mu \text{s}\right)} \begin{cases} x(t = 3\mu\text{s}) = 8{,}62\times 10^{-2} \text{ m} \cr \cr y(t = 3\mu\text{s}) = 0 \text{ m} \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 3\mu \text{s}\right)} \begin{cases} x(t = 3\mu \text{s}) = 8{,}62 \text{ cm} \cr \cr y(t = 3\mu\text{s}) = 0 \text{ m} \cr \end{cases}
Un électron est placé sur l'origine du repère avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} = v_0.\overrightarrow{u_y} où v_0 = 300 \text{ m.s}^{-1} dans un condensateur plan engendrant un champ électrostatique \overrightarrow{E} = E .\overrightarrow{u_x} avec E = 750 \text{ }V.m^{-1}.
On détermine l'équation horaire de l'électron dans le champ électrostatique :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{q\times E}{m}\times t^2 \cr \cr y(t) =v_0 \times t \cr \end{cases}
Quelle est la position du proton à t =5 \text{ ns} ?
Données :
- Charge élémentaire : q_E = 1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}
- Masse d'un électron : m_E = 9{,}11\times 10^{-31} \text{ kg}
La particule subissant le champ électrostatique est un électron, par conséquent il possède une charge q = - q_E.
À l'aide des équations horaires du mouvement, il est possible de déterminer la position de l'électron à un instant donné. On a ainsi :
\overrightarrow{OM\left(t = 5 \text{ ns}\right)} \begin{cases} x(t = 5\text{ ns}) =- \dfrac{1}{2} \times \dfrac{q_E\times E}{m_E}\times t^2 \cr \cr y(t = 5 \text{ ns}) =v_0 \times t \cr \end{cases}
Soit :
\overrightarrow{OM\left(t = 5 \text{ ns}\right)} \begin{cases} x(t = 5 \text{ ns}) =- \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1{,}6 \times 10^{-19}\times 750}{9{,}1 \times 10^{-31}}\times (5{,}0 \times 10^{-9})^2 \cr \cr y(t = 5 \text{ ns}) =300 \times 5{,}0 \times 10^{-9} \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 5 \text{ ns}\right)} \begin{cases} x(t = 5\text{ ns}) =1{,}65 \times 10^{-6} \text{ m}\cr \cr y(t = 5\text{ ns}) =1{,}5 \times 10^{-6} \text{ m} \cr \end{cases}
\overrightarrow{OM\left(t = 5 \text{ ns}\right)} \begin{cases} x(t = 5\text{ ns}) =1{,}65 \text{ mm}\cr \cr y(t = 5\text{ ns}) =1{,}50 \text{ }\mu \text{m} \cr \end{cases}
On lâche une balle sans vitesse initiale d'une hauteur h = 4 \text{ m}.
L'équation horaire de sa chute est comme suit :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) =0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + h \cr \end{cases}
Quelle est la durée de la chute de la balle ?
Données : accélération de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-2}
On cherche le temps t_f que met la balle à tomber, c'est-à-dire le temps t_f correspondant à la position y = 0 (la balle touche le sol). Ainsi t_f vérifie :
\overrightarrow{OM\left(t_f\right)} \begin{cases} x(t_f) =0 \cr \cr y(t_f) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t_f^2 + h = 0\cr \end{cases}
Soit :
-\dfrac{1}{2} \times g \times t_f^2 + h = 0
D'où :
t_f = \sqrt{\dfrac{2\times h}{g}}
On en déduit :
t_f = \sqrt{\dfrac{2\times 4}{9{,}81}} = 0{,}9 \text{ s}
La balle met donc 0,9 seconde à toucher le sol.