Etudier le mouvement d'un satellite géostationnaire Problème

On étudie le mouvement d'un satellite géostationnaire en orbite autour de la Terre. Pour ce faire, on se place dans le référentiel mobile lié au satellite, que l'on suppose galiléen.

Données :

constante universelle de la gravitation : G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{kg}^{-2} ;
rayon de la Terre : R_T = 6\ 400 \text{ km} ;
période de rotation de la Terre autour d'elle même : T = 23 \text{ h } 56 \text{ min}, soit T =86 \ 160 \text{ s } ;
masse de la Terre : M_T = 5{,}9 \times 10^{24} \text{ kg}.

Repère lié à un satellite géostationnaire

Quelle est la définition d'un satellite géostationnaire ?

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la Terre.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement perpendiculaire à l'équateur.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui effectue une trajectoire elliptique autour de la Terre.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui couvre toute la surface de la Terre en 24 heures environ.

Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire ?

T = 23\text{ h }56 \text{ min}

T = 365{,}25 \text{ jours}

T = 12\text{ h }54 \text{ min}

T = 96 \text{ min}

On souhaite déterminer l'altitude et la vitesse d'un satellite géostationnaire.

Quelle est l'expression de la vitesse du satellite que l'on trouve en appliquant la deuxième loi de Newton ?

v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}}

v= \sqrt{\dfrac{G \times m \times M_T}{r}}

v= \dfrac{G \times m \times M_T}{r^2}

v= \dfrac{G \times M_T}{r^2}

Quelle est la relation liant la vitesse v du satellite, le rayon r de son orbite et sa période de révolution T ?

v = \dfrac{2\pi r}{T}

v = \dfrac{2\pi r}{T^2}

v = \dfrac{\pi r^2}{T}

v = \dfrac{\pi r^2}{T^2}

À partir des deux expressions de la vitesse du satellite obtenues précédemment, quelle expression de l'altitude du satellite géostationnaire obtient-on ?

h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} − R_\text{T}

h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} + R_\text{T}

h =\sqrt[]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} − R_\text{T}^3

h =\sqrt[]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} + R_\text{T}^3

Quelle est alors la valeur de l'altitude du satellite géostationnaire ?

h = 3{,}58 \times 10^4 \text{ km}

h = 3{,}58 \times 10^7 \text{ km}

h = 4{,}19 \times 10^4 \text{ km}

h = 4{,}19 \times 10^7 \text{ km}

Connaissant l'altitude du satellite géostationnaire, quelle est sa vitesse ?

v = 3{,}07 \times 10^3 \text{ m.s}^{-1}

v = 3{,}07 \times 10^6 \text{ m.s}^{-1}

v = 1{,}05 \times 10^4 \text{ m.s}^{-1}

v = 1{,}05 \times 10^5 \text{ m.s}^{-1}