On étudie le mouvement d'un satellite géostationnaire en orbite autour de la Terre. Pour ce faire, on se place dans le référentiel mobile lié au satellite, que l'on suppose galiléen.

Données :

constante universelle de la gravitation : G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{kg}^{-2} ;
rayon de la Terre : R_T = 6\ 400 \text{ km} ;
période de rotation de la Terre autour d'elle même : T = 23 \text{ h } 56 \text{ min}, soit T =86 \ 160 \text{ s } ;
masse de la Terre : M_T = 5{,}9 \times 10^{24} \text{ kg}.

Repère lié à un satellite géostationnaire

Quelle est la définition d'un satellite géostationnaire ?

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la Terre.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement perpendiculaire à l'équateur.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui effectue une trajectoire elliptique autour de la Terre.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui couvre toute la surface de la Terre en 24 heures environ.

Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la Terre. Le satellite reste donc constamment au-dessus d'un même point de la surface de la Terre.

Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire ?

T = 23\text{ h }56 \text{ min}

T = 365{,}25 \text{ jours}

T = 12\text{ h }54 \text{ min}

T = 96 \text{ min}

Par définition, un satellite géostationnaire reste toujours au-dessus du même point de la Terre. Par conséquent, sa période de rotation est égale à celle de la Terre sur elle-même, soit :
T = 23\text{ h }56 \text{ min}

On souhaite déterminer l'altitude et la vitesse d'un satellite géostationnaire.

Quelle est l'expression de la vitesse du satellite que l'on trouve en appliquant la deuxième loi de Newton ?

v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}}

v= \sqrt{\dfrac{G \times m \times M_T}{r}}

v= \dfrac{G \times m \times M_T}{r^2}

v= \dfrac{G \times M_T}{r^2}

On se place dans le référentiel mobile attaché au satellite, que l'on suppose galiléen. Dans ce référentiel, les composantes du vecteur accélération sont :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N =m\times \dfrac{v^2}{r} \end{cases}

La seule force que subit le satellite est la force gravitationnelle \overrightarrow{F_G} exercée par la Terre, qui est colinéaire au vecteur unitaire \overrightarrow{u_N}. Ses composantes sont donc :
\overrightarrow{F_G}\begin{cases} F_T =0 \cr \cr F_N = \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}

En appliquant la seconde loi de Newton, on obtient :
m \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_G}

D'où :
m \times \overrightarrow{a}\begin{cases} m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr m \times \dfrac{v^2}{r} \end{cases} = \overrightarrow{F_G}\begin{cases} 0 \cr \cr \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}

On en déduit l'égalité :
m \times \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2}

On peut simplifier par la masse du satellite :
\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G \times M_T}{r^2}

D'où l'expression de la vitesse du satellite :
v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}}

Quelle est la relation liant la vitesse v du satellite, le rayon r de son orbite et sa période de révolution T ?

v = \dfrac{2\pi r}{T}

v = \dfrac{2\pi r}{T^2}

v = \dfrac{\pi r^2}{T}

v = \dfrac{\pi r^2}{T^2}

Pendant une durée égale à sa période de révolution T, le satellite effectue un tour complet autour de la Terre. La distance qu'il parcourt est donc la circonférence de son orbite, qui est égale à 2 \pi r. L'expression de la vitesse du satellite est donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T}

À partir des deux expressions de la vitesse du satellite obtenues précédemment, quelle expression de l'altitude du satellite géostationnaire obtient-on ?

h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} − R_\text{T}

h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} + R_\text{T}

h =\sqrt[]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} − R_\text{T}^3

h =\sqrt[]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} + R_\text{T}^3

Les deux expressions de la vitesse du satellite sont v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}} et v = \dfrac{2\pi r}{T}.

On a donc :
\sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}} = \dfrac{2\pi r}{T}

En élevant les deux termes de cette équation au carré, on obtient :
{\dfrac{G\times M_T}{r}} = \dfrac{4\times \pi^2 \times r^2}{T^2}

Soit :
G\times M_T = \dfrac{4\times \pi^2 \times r^3}{T^2}

Or, on peut exprimer le rayon de l'orbite du satellite r comme la somme du rayon de la Terre R_T et de l'altitude du satellite h :
r = R_T + h

On a donc :
{{G\times M_T}} = \dfrac{4\times \pi^2 \times (h+R_T)^3}{T^2}

Ce qui donne, après avoir isolé l'altitude h :
h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}

D'où l'application numérique :
h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}\times (23 \times \text{3 600} + 56 \times 60)^2}{4 \pi^2}} - \text{6 400} \times 10^3
h = 3{,}59 \times 10^7 \text{ m}

Soit, en kilomètres :
h = 3{,}59 \times 10^4 \text{ km}

Quelle est alors la valeur de l'altitude du satellite géostationnaire ?

h = 3{,}58 \times 10^4 \text{ km}

h = 3{,}58 \times 10^7 \text{ km}

h = 4{,}19 \times 10^4 \text{ km}

h = 4{,}19 \times 10^7 \text{ km}

On a :
h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}

Avec :

constante universelle de la gravitation : G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{kg}^{-2} ;
rayon de la Terre : R_T = 6\ 400 \text{ km} = 6\ 400 \times 10^3 \text{ m} ;
période de rotation de la Terre autour d'elle-même : T = 23 \text{ h } 56 \text{ min}, soit T =86 \ 160 \text{ s } ;
masse de la Terre : M_T = 5{,}9 \times 10^{24} \text{ kg}.

D'où l'application numérique :
h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}\times (\text{86 160})^2}{4 \pi^2}} - \text{6 400} \times 10^3
h = 3{,}58 \times 10^7 \text{ m}

Soit, en kilomètres :
h = 3{,}58 \times 10^4 \text{ km}

Connaissant l'altitude du satellite géostationnaire, quelle est sa vitesse ?

v = 3{,}07 \times 10^3 \text{ m.s}^{-1}

v = 3{,}07 \times 10^6 \text{ m.s}^{-1}

v = 1{,}05 \times 10^4 \text{ m.s}^{-1}

v = 1{,}05 \times 10^5 \text{ m.s}^{-1}

On a déjà établi que l'expression de la vitesse est la suivante :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M_T}{r}}

Soit, puisque r = R_T + h :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M_T}{ R_T + h}}

D'où l'application numérique :
v = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}}{\text{6 400} \times 10^3 + 3{,}58 \times 10^7}}
v = 3{,}07 \times 10^3 \text{ m.s}^{-1}