On étudie le mouvement d'un satellite géostationnaire en orbite autour de la Terre. Pour ce faire, on se place dans le référentiel mobile lié au satellite, que l'on suppose galiléen.
Données :
- constante universelle de la gravitation : G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{kg}^{-2} ;
- rayon de la Terre : R_T = 6\ 400 \text{ km} ;
- période de rotation de la Terre autour d'elle même : T = 23 \text{ h } 56 \text{ min}, soit T =86 \ 160 \text{ s } ;
- masse de la Terre : M_T = 5{,}9 \times 10^{24} \text{ kg}.

Repère lié à un satellite géostationnaire
Quelle est la définition d'un satellite géostationnaire ?
Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la Terre. Le satellite reste donc constamment au-dessus d'un même point de la surface de la Terre.
Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire ?
Par définition, un satellite géostationnaire reste toujours au-dessus du même point de la Terre. Par conséquent, sa période de rotation est égale à celle de la Terre sur elle-même, soit :
T = 23\text{ h }56 \text{ min}
On souhaite déterminer l'altitude et la vitesse d'un satellite géostationnaire.
Quelle est l'expression de la vitesse du satellite que l'on trouve en appliquant la deuxième loi de Newton ?
On se place dans le référentiel mobile attaché au satellite, que l'on suppose galiléen. Dans ce référentiel, les composantes du vecteur accélération sont :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N =m\times \dfrac{v^2}{r} \end{cases}
La seule force que subit le satellite est la force gravitationnelle \overrightarrow{F_G} exercée par la Terre, qui est colinéaire au vecteur unitaire \overrightarrow{u_N}. Ses composantes sont donc :
\overrightarrow{F_G}\begin{cases} F_T =0 \cr \cr F_N = \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}
En appliquant la seconde loi de Newton, on obtient :
m \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_G}
D'où :
m \times \overrightarrow{a}\begin{cases} m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr m \times \dfrac{v^2}{r} \end{cases} = \overrightarrow{F_G}\begin{cases} 0 \cr \cr \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}
On en déduit l'égalité :
m \times \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2}
On peut simplifier par la masse du satellite :
\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G \times M_T}{r^2}
D'où l'expression de la vitesse du satellite :
v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}}
Quelle est la relation liant la vitesse v du satellite, le rayon r de son orbite et sa période de révolution T ?
Pendant une durée égale à sa période de révolution T, le satellite effectue un tour complet autour de la Terre. La distance qu'il parcourt est donc la circonférence de son orbite, qui est égale à 2 \pi r. L'expression de la vitesse du satellite est donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T}
À partir des deux expressions de la vitesse du satellite obtenues précédemment, quelle expression de l'altitude du satellite géostationnaire obtient-on ?
Les deux expressions de la vitesse du satellite sont v= \sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}} et v = \dfrac{2\pi r}{T}.
On a donc :
\sqrt{\dfrac{G \times M_T}{r}} = \dfrac{2\pi r}{T}
En élevant les deux termes de cette équation au carré, on obtient :
{\dfrac{G\times M_T}{r}} = \dfrac{4\times \pi^2 \times r^2}{T^2}
Soit :
G\times M_T = \dfrac{4\times \pi^2 \times r^3}{T^2}
Or, on peut exprimer le rayon de l'orbite du satellite r comme la somme du rayon de la Terre R_T et de l'altitude du satellite h :
r = R_T + h
On a donc :
{{G\times M_T}} = \dfrac{4\times \pi^2 \times (h+R_T)^3}{T^2}
Ce qui donne, après avoir isolé l'altitude h :
h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}
D'où l'application numérique :
h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}\times (23 \times \text{3 600} + 56 \times 60)^2}{4 \pi^2}} - \text{6 400} \times 10^3
h = 3{,}59 \times 10^7 \text{ m}
Soit, en kilomètres :
h = 3{,}59 \times 10^4 \text{ km}
Quelle est alors la valeur de l'altitude du satellite géostationnaire ?
On a :
h =\sqrt[3]{\frac{G \times M_T\times T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}
Avec :
- constante universelle de la gravitation : G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2\text{kg}^{-2} ;
- rayon de la Terre : R_T = 6\ 400 \text{ km} = 6\ 400 \times 10^3 \text{ m} ;
- période de rotation de la Terre autour d'elle-même : T = 23 \text{ h } 56 \text{ min}, soit T =86 \ 160 \text{ s } ;
- masse de la Terre : M_T = 5{,}9 \times 10^{24} \text{ kg}.
D'où l'application numérique :
h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}\times (\text{86 160})^2}{4 \pi^2}} - \text{6 400} \times 10^3
h = 3{,}58 \times 10^7 \text{ m}
Soit, en kilomètres :
h = 3{,}58 \times 10^4 \text{ km}
Connaissant l'altitude du satellite géostationnaire, quelle est sa vitesse ?
On a déjà établi que l'expression de la vitesse est la suivante :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M_T}{r}}
Soit, puisque r = R_T + h :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M_T}{ R_T + h}}
D'où l'application numérique :
v = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}}{\text{6 400} \times 10^3 + 3{,}58 \times 10^7}}
v = 3{,}07 \times 10^3 \text{ m.s}^{-1}