Sommaire
1Rappeler l'expression de la vitesse d'un corps céleste obtenue à partir de la deuxième loi de Newton 2Déterminer l'expression de la vitesse d'un corps céleste obtenue à partir de sa période de révolution et du rayon de son orbite 3En déduire l'expression de la troisième de KeplerLa troisième loi de Kepler énonce que le rapport du carré de la période de révolution d'un corps céleste par le cube du rayon de son orbite est constant. Son expression peut être retrouvée à partir de l'expression de la vitesse du corps céleste et de la définition de la période de révolution.
On considère un corps céleste en orbite autour d'un astre attracteur. À l'aide de l'expression de sa vitesse obtenue à partir de la deuxième loi de Newton et de la définition de la période de révolution, retrouver la troisième de Kepler.
Rappeler l'expression de la vitesse d'un corps céleste obtenue à partir de la deuxième loi de Newton
L'application de la deuxième loi de Newton à un corps céleste en orbite autour d'un astre attracteur permet d'exprimer sa vitesse.
L'expression de la vitesse d'un corps céleste en orbite de rayon r autour de son astre attracteur (de masse M ) peut être donnée en fonction des lois de la gravitation. Si on considère une orbite circulaire, la vitesse orbitale v s'écrit :
v = \sqrt{\dfrac{G \times M }{r} }
Déterminer l'expression de la vitesse d'un corps céleste obtenue à partir de sa période de révolution et du rayon de son orbite
On détermine l'expression de la vitesse d'un corps céleste en fonction de sa période de révolution et du rayon de son orbite en utilisant la définition de la période de révolution.
La période de révolution T du corps céleste correspond à la durée nécessaire pour que le corps fasse un tour entier autour de l'astre attracteur. Pendant cette durée, le corps céleste parcourt donc une distance égale à la circonférence de son orbite.
L'expression de sa vitesse en fonction de sa période de révolution et du rayon de son orbite est donc :
v=\dfrac{d}{T}
v=\dfrac{2 \pi r}{T}
En déduire l'expression de la troisième de Kepler
En utilisant les deux expressions de la vitesse du corps céleste, on détermine l'expression du rapport \dfrac{{T^2}}{ r^3}.
On a donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M }{r} }
Pour isoler la période de révolution T, on élève les deux termes au carré :
\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M }{r}
Ce qui donne :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M }
Soit encore :
\dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M }
Ainsi, on retrouve bien la troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période par le cube du rayon est constant. De plus, ce rapport est égal au rapport de 4 \pi^2 par le produit de la constante de la gravitation universelle G et de la masse de l'astre attracteur.