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Démontrer que deux droites sont parallèles

Méthode 1

En utilisant une troisième droite

Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.

On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

-

Montrer que \(\displaystyle{\left(EH\right) // \left(BC\right)}\).

Etape 1

Trouver une droite parallèle aux deux droites

On veut montrer que \(\displaystyle{d_1 // d_2}\). On détermine une droite \(\displaystyle{\Delta}\) telle que \(\displaystyle{d_1 // \Delta}\) et \(\displaystyle{d_2 // \Delta}\).

  • La face \(\displaystyle{EFGH}\) est un rectangle, donc \(\displaystyle{\left(EH\right) //\left(FG\right)}\).
  • La face \(\displaystyle{FGCB}\) est un rectangle, donc \(\displaystyle{\left(FG\right) //\left(BC\right)}\).

Ainsi, \(\displaystyle{\left(EH\right)}\) et \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) sont toutes deux parallèles à \(\displaystyle{\left(FG\right)}\).

Etape 2

Conclure

On en conclut que \(\displaystyle{d_1 // d_2}\).

\(\displaystyle{\left(EH\right)}\) et \(\displaystyle{\left(BC\right)}\) sont parallèles à une même droite. Donc \(\displaystyle{\left(EH\right) // \left(BC\right)}\).

Méthode 2

En montrant qu'elles sont coplanaires et non sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement elles sont coplanaires et n'ont pas de point d'intersection.

On considère une pyramide à base carrée ABCDS. On note S son sommet. Soit I, le milieu de \(\displaystyle{\left[ AS \right]}\) et J, le milieu de \(\displaystyle{\left[ BS \right]}\).

Montrer que \(\displaystyle{\left(AB\right) // \left(IJ\right)}\).

Etape 1

Montrer que les droites sont coplanaires

On montre d'abord que les droites \(\displaystyle{d_1}\) et \(\displaystyle{d_2}\) sont coplanaires.

On réalise une figure.

-

\(\displaystyle{I \in \left(AS\right)}\) et \(\displaystyle{J \in \left(SB\right)}\) donc la droite \(\displaystyle{\left(IJ\right)}\) appartient au plan \(\displaystyle{\left(ASB\right)}\).

De plus, \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) appartient au plan \(\displaystyle{\left(ASB\right)}\).

Donc \(\displaystyle{\left(IJ\right)}\) et \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) sont coplanaires.

Etape 2

Montrer qu'elles n'ont pas de point d'intersection

On montre ensuite qu'elles n'ont pas de point d'intersection : elles sont donc parallèles.

Dans le triangle ABS, on a I, milieu de \(\displaystyle{\left[ AS \right]}\) et J, milieu de \(\displaystyle{\left[ BS \right]}\).

Donc, d'après le théorème des milieux, on obtient :

\(\displaystyle{\left(AB\right)//\left(IJ\right)}\)

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