Seconde 2016-2017
Kartable
Seconde 2016-2017

La trigonométrie

I

Le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Un cercle de centre O et de rayon 1, dont le sens de parcours est le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.

-

La longueur d'un cercle trigonométrique est 2π.

II

Une nouvelle unité de mesure : le radian

Soit le cercle trigonométrique et soit un point M sur le cercle.

Mesure en radians

Une mesure en radians de l'angle géométrique AOMˆ est la longueur de l'arc AM, affectée :

  • Du signe "+" si l'arc orienté AM est dans le sens direct
  • Du signe "-" si l'arc orienté AM est dans le sens indirect
-

Il y a proportionnalité entre les mesures des angles en degrés et les mesures en radians, pour les mesures comprises entre 0° et 360° (pour la mesure en degrés) et celle comprises entre 0 et 2π (pour la mesure en radians).

Soit M un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en degrés de l'angle AOMˆ soit 150°.

La longueur de l'arc AM est donc :

l=150×2π360

l=5π6

Une mesure de l'angle AOMˆ est donc 5π6 radians.

Les mesures remarquables à connaître sont les suivantes :

Angle en radians0π6π4π3π2π2π
Angle en degrés030456090180360
-
III

Lien entre droite des réels et cercle trigonométrique

IV

Le cosinus et le sinus

A

Définitions

Soit B le point du cercle trigonométrique tel que l'arc AB parcouru de A vers B dans le sens direct a pour longueur π2. Le repère (O:OA;OB) est orthonormal.

À un réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique.

  • Le cosinus de x, noté cos(x), est l'abscisse de M dans le repère (O:OA;OB).
  • Le sinus de x, noté sin(x), est l'ordonnée de M dans le repère (O:OA;OB).
-
-

On a :

  • cos(π2)=0
  • sin(π2)=1
B

Les valeurs remarquables de cos et sin

x0π6π4π3π2
sin(x)01222321
cos(x)13222120
C

Cosinus et sinus de quelques réels associés

M est le point du cercle trigonométrique associé à un réel x. Alors M', N, N' et P sont respectivement associés aux réels (π+x), -x, (πx) et

D

Propriétés des cosinus et des sinus

Pour tout réel x :

cos2(x)+sin2(x)=1

cos2(π)+sin2(π)=(1)2+02=1

Pour tout réel x :

1cos(x)1

1sin(x)1

Pour tout réel x et tout entier k :

cos(x+2kπ)=cos(x)

sin(x+2kπ)=sin(x)

cos(7π3)=cos(π3+2×π)=cos(π3)

sin(13π3)=sin(π3+2×2×π)=sin(π3)

cos2(x) et sin2(x) sont des notations signifiant (cos(x))2 et (sin(x))2.

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