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La trigonométrie

I

Le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Un cercle de centre O et de rayon 1, dont le sens de parcours est le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.

-

La longueur d'un cercle trigonométrique est \(\displaystyle{2\pi}\).

II

Une nouvelle unité de mesure : le radian

Soit le cercle trigonométrique et soit un point M sur le cercle.

Mesure en radians

Une mesure en radians de l'angle géométrique \(\displaystyle{\widehat{AOM}}\) est la longueur de l'arc \(\displaystyle{\overset{\frown}{AM}}\), affectée :

  • Du signe "+" si l'arc orienté \(\displaystyle{\overset{\frown}{AM}}\) est dans le sens direct
  • Du signe "-" si l'arc orienté \(\displaystyle{\overset{\frown}{AM}}\) est dans le sens indirect
-

Il y a proportionnalité entre les mesures des angles en degrés et les mesures en radians, pour les mesures comprises entre 0° et 360° (pour la mesure en degrés) et celle comprises entre 0 et \(\displaystyle{2\pi}\) (pour la mesure en radians).

Soit M un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en degrés de l'angle \(\displaystyle{\widehat{AOM}}\) soit 150°.

La longueur de l'arc \(\displaystyle{\overset{\frown}{AM}}\) est donc :

\(\displaystyle{l=\dfrac{150\times2\pi}{360}}\)

\(\displaystyle{l=\dfrac{5\pi}{6}}\)

Une mesure de l'angle \(\displaystyle{\widehat{AOM}}\) est donc \(\displaystyle{\dfrac{5\pi}{6}}\) radians.

Les mesures remarquables à connaître sont les suivantes :

Angle en radians \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{4}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle{\pi }\) \(\displaystyle{2\pi }\)
Angle en degrés \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{30}\) \(\displaystyle{45}\) \(\displaystyle{60}\) \(\displaystyle{90}\) \(\displaystyle{180}\) \(\displaystyle{360}\)
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III

Lien entre droite des réels et cercle trigonométrique

Point image d'un réel sur le cercle trigonométrique

Dans le repère orthonormé (O; I, J), note \(\displaystyle{\mathscr C}\) le cercle trigonométrique et A le point de coordonnées \(\displaystyle{\left(1;1\right)}\).

On munit la tangente au cercle \(\displaystyle{\mathscr C}\) en A du repère (I;A).

À chaque réel \(\displaystyle{x}\) de cette droite est associé un unique point M sur le cercle trigonométrique obtenu par "enroulement" de la droite des réels sur le cercle.

La partie de la droite comportant les réels positifs est "enroulée" dans le sens direct et la partie de la droite comportant les réels négatifs est "enroulée" dans le sens indirect.

On dit que le point M est le point image du réel \(\displaystyle{x}\), ou que le réel \(\displaystyle{x}\) est le point M sont associés.

  • Si \(\displaystyle{x}\) est un réel positif, alors \(\displaystyle{\overset{\frown}{IM}=x}\).
  • Si \(\displaystyle{x}\) est un réel négatif, alors \(\displaystyle{\overset{\frown}{IM}=-x}\).

Le point M est le point image du réel \(\displaystyle{x}\) sur le cercle trigonométrique.

-
  • Le point I' est associé au réel \(\displaystyle{\pi}\)
  • Le point I est associé au réel 0
  • Le point J est associé au réel \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\)
  • Le point I' est associé au réel \(\displaystyle{\dfrac{3\pi}{2}}\)

Si \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{x'}\) sont des nombres réels tels que \(\displaystyle{x'-x=k\times 2\pi}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), alors ils ont le même point image sur le cercle trigonométrique.

Si M est le point du cercle trigonométrique associé à un réel \(\displaystyle{x}\), alors il est également associé à tous les réels du type \(\displaystyle{x+2k\pi}\), où \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

  • Le point I' est associé au réel \(\displaystyle{-\pi}\).
  • Le point I est associé au réel \(\displaystyle{2\pi}\).
  • Le point J est associé au réel \(\displaystyle{\dfrac{-3\pi}{2}}\).
  • Le point J' est associé au réel \(\displaystyle{\dfrac{-\pi}{2}}\).
  • Les réels \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{7\pi}{3}}\) sont associés au même point du cercle car \(\displaystyle{\dfrac{7\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=k\times 2\pi}\) avec \(\displaystyle{k=1}\).
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IV

Le cosinus et le sinus

A

Définitions

Soit B le point du cercle trigonométrique tel que l'arc \(\displaystyle{\overset{\frown}{AB}}\) parcouru de A vers B dans le sens direct a pour longueur \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\). Le repère \(\displaystyle{\left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right)}\) est orthonormal.

À un réel x, on associe le point M du cercle trigonométrique.

  • Le cosinus de x, noté \(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\), est l'abscisse de M dans le repère \(\displaystyle{\left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right)}\).
  • Le sinus de x, noté \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\), est l'ordonnée de M dans le repère \(\displaystyle{\left( O:\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right)}\).
-
-

On a :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1}\)
B

Les valeurs remarquables de cos et sin

\(\displaystyle{x}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{4}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi }{2}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) \(\displaystyle{1}\)
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) \(\displaystyle{0}\)
C

Cosinus et sinus de quelques réels associés

M est le point du cercle trigonométrique associé à un réel x. Alors M', N, N' et P sont respectivement associés aux réels \(\displaystyle{\left(\pi+x\right)}\), -x, \(\displaystyle{\left(\pi-x\right)}\) et \(\displaystyle{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}\).

-
  • \(\displaystyle{\cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\pi-x\right)=-\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(\pi-x\right)=\sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)\text{ et }\sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x\right)\text{ et }\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}}\)
D

Propriétés des cosinus et des sinus

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos^{2}\left(x\right) + \sin^{2}\left(x\right) = 1}\)

\(\displaystyle{cos^2\left(\pi\right)+sin^2\left(\pi\right)=\left(-1\right)^2+0^2=1}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{- 1 \leq \cos\left(x\right) \leq 1}\)

\(\displaystyle{- 1 \leq \sin\left(x\right) \leq 1}\)

Pour tout réel x et tout entier k :

\(\displaystyle{\cos\left(x + 2k\pi \right) = \cos\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\sin\left(x + 2k\pi \right) = \sin\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+2\times \pi\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{\sin \left(\dfrac{13\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+2\times2\times \pi\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{cos^2\left(x\right)}\) et \(\displaystyle{sin^2\left(x\right)}\) sont des notations signifiant \(\displaystyle{\left(\cos\left(x\right)\right)^2}\) et \(\displaystyle{\left(\sin\left(x\right)\right)^2}\).

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