Déterminer le cosinus d'un angle à partir de son sinus, et réciproquementMéthode

Lorsque l'on connaît la valeur d'un cosinus, on peut déterminer la valeur du sinus correspondant sur un intervalle I donné grâce à la formule cos^2\left(x\right)+ sin^2\left(x\right) = 1.

Soit x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]. On sait que \cos \left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt 2 }{3}.

Déterminer \sin\left(x\right).

Etape 1

Rappeler l'égalité cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1

On rappelle que, pour tout x \in \mathbb{R} :

cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1

D'après le cours, on sait que, pour tout x \in \mathbb{R} :

cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1

Etape 2

Remplacer la valeur connue de \sin\left(x\right) ou \cos\left(x\right)

On distingue deux cas.

Si l'on sait que \cos \left(x\right)=a, l'équation devient :

a^2 +sin^2\left(x\right) = 1 \Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1-a^2

Donc \sin \left(x\right) = \sqrt{1-a^2} ou \sin \left(x\right) =- \sqrt{1-a^2}

Si l'on sait que \sin\left(x\right)=a, l'équation devient :

cos^2\left(x\right) +a^2 = 1 \Leftrightarrow cos^2\left(x\right) = 1-a^2

Donc \cos\left(x\right) = \sqrt{1-a^2} ou \cos\left(x\right) = -\sqrt{1-a^2}

On sait que \cos \left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt 2 }{3}.

Donc l'équation devient :

\left(\dfrac{1+\sqrt 2 }{3}\right)^2 + sin^2\left(x\right) = 1

\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1 - \left(\dfrac{1+\sqrt 2 }{3}\right)^2

\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1 - \dfrac{1+2\sqrt 2 +2 }{9}

\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3+2\sqrt 2 }{9}

\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = \dfrac{6-2\sqrt 2 }{9}

On en déduit que :

\sin\left(x\right) = \sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} } ou \sin\left(x\right) = -\sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude

On rappelle que l'on cherche à résoudre l'équation sur l'intervalle I. On en conclut le signe de \cos\left(x\right) ou de \sin\left(x\right), selon ce que l'on cherche. On pourra s'aider d'un cercle trigonométrique.

D'après l'énoncé, on sait que x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right].

-

Donc \sin\left(x\right) \geq 0.

Etape 4

Donner la solution cherchée en fonction de l'intervalle donné

On sélectionne la solution vérifiant la condition de signe précédente et on conclut.

On obtient donc :

\sin\left(x\right) = \sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }