Résoudre une équation trigonométrique du type cos(x)=a Méthode

Sommaire

1Se ramener à une équation du type \cos\left(x\right)=\cos\left(\alpha\right) 2Déterminer les réels qui ont le même cosinus 3Rappeler l'intervalle d'étude demandé 4Conclure

À l'aide du cercle trigonométrique et des angles usuels, on sait déterminer les solutions des équations au programme de 2nde du type \cos \left(x\right) = a.

Résoudre l'équation suivante sur \left[ 0 ; \pi \right] :

\cos \left(x\right) = \dfrac {1}{2}

Etape 1

Se ramener à une équation du type \cos\left(x\right)=\cos\left(\alpha\right)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right) à l'aide des valeurs remarquables de cosinus.

On remarque que :

\dfrac{1}{2} = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)

L'équation devient donc :

\cos\left(x\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Etape 2

Déterminer les réels qui ont le même cosinus

On trace la droite x = a sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right) .

-

On en déduit que :

\cos\left(x\right) =\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou\cr x=-\alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

On trace la droite x = \dfrac{1}{2} sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que :

\cos\left(x\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=-\dfrac{\pi}{3} +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on recherche les solutions.

On cherche les solutions appartenant à l'intervalle \left[ 0;\pi\right].

Etape 4

Conclure

On sélectionne la ou les solution(s) appartenant à I.

Le seul réel qui convient est \dfrac{\pi}{3}. Donc l'ensemble des solutions est :

S = \left\{ \dfrac{\pi}{3}\right\}