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Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
À l'aide du cercle trigonométrique et des angles usuels, on sait déterminer les solutions des équations au programme de 2nde du type \cos \left(x\right) = a.
Résoudre l'équation suivante sur \left[ 0 ; \pi \right] :
\cos \left(x\right) = \dfrac {1}{2}
Se ramener à une équation du type \cos\left(x\right)=\cos\left(\alpha\right)
Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right) à l'aide des valeurs remarquables de cosinus.
On remarque que :
\dfrac{1}{2} = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)
L'équation devient donc :
\cos\left(x\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)
Déterminer les réels qui ont le même cosinus
On trace la droite x = a sur le cercle trigonométrique.
L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right) .
On en déduit que :
\cos\left(x\right) =\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou\cr x=-\alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}
On trace la droite x = \dfrac{1}{2} sur le cercle trigonométrique.
On en déduit que :
\cos\left(x\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=-\dfrac{\pi}{3} +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}
Rappeler l'intervalle d'étude demandé
On rappelle l'intervalle sur lequel on recherche les solutions.
On cherche les solutions appartenant à l'intervalle \left[ 0;\pi\right].
Conclure
On sélectionne la ou les solution(s) appartenant à I.
Le seul réel qui convient est \dfrac{\pi}{3}. Donc l'ensemble des solutions est :
S = \left\{ \dfrac{\pi}{3}\right\}