Résoudre une équation trigonométrique du type sin(x)=aMéthode

À l'aide du cercle trigonométrique et des angles usuels, on sait déterminer les solutions des équations au programme de 2nde du type \sin \left(x\right) = a.

Résoudre l'équation \sin \left(x\right) = \dfrac {\sqrt 2}{2} sur \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right].

Etape 1

Se ramener à une équation du type \sin\left(x\right)=\sin\left(\alpha\right)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \sin \left(x\right) = \sin\left(\alpha\right) à l'aide des valeurs remarquables de sinus.

On remarque que :

\dfrac{\sqrt 2}{2} = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

L'équation devient donc :

\sin \left(x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Etape 2

Déterminer les réels qui ont le même sinus

On trace la droite y= a sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \sin\left(x\right) = \sin\left(\alpha\right) .

-

On en déduit que :

\sin\left(x\right) =\sin\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=\pi-\alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

On trace la droite y = \dfrac{\sqrt 2}{2} sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que :

\sin\left(x\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=\pi-\dfrac{\pi}{4} +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on doit résoudre l'équation.

On cherche les solutions appartenant à l'intervalle \left[ - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right].

Etape 4

Conclure

On sélectionne la ou les solution(s) appartenant à I.

Le seul réels qui convient est \dfrac{\pi}{4}. Donc l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ \dfrac{\pi}{4}\right\}