Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle associéMéthode

On sait déterminer le cosinus et le sinus des réels associés à, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.

Donner la valeur de \cos \left(\dfrac{7\pi}{6}\right) et de \sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right).

Etape 1

Déterminer le réel associé utilisé

On connaît les valeurs du cosinus et du sinus de 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.

On sait que les réels associés possibles d'un réel x sont :

  • -x
  • \pi-x
  • \pi+x
  • \dfrac{\pi}{2}+x
  • \dfrac{\pi}{2}-x

On détermine l'angle associé demandé en énoncé, en s'aidant éventuellement du cercle trigonométrique :

-

On remarque que :

\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}

On cherche donc les valeurs de \cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) et de \sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right).

Etape 2

Réciter la formule

D'après le cours, on connaît les formules des cosinus et sinus des réels associés suivants :

  • \sin\left(-x\right)= -\sin\left(x\right) et \cos \left(-x\right) = \cos \left(x\right)
  • \sin \left(\pi+x\right) = -\sin\left(x\right) et \cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right)
  • \sin \left(\pi-x\right) = \sin\left(x\right) et \cos \left(\pi-x\right) = -\cos \left(x\right)
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)

On récite la formule appropriée, que l'on retrouve éventuellement à l'aide du cercle trigonométrique :

-

On sait que :

  • \cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)
  • \sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)
Etape 3

Rappeler la valeur connue de cos ou de sin

On connaît, d'après le cours, le cosinus et le sinus de certains réels. Ils sont résumés dans le tableau suivant :

x 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi
\cos\left(x\right) 1 \dfrac{\sqrt3}{2} \dfrac{\sqrt2}{2} \dfrac{1}{2} 0 −1
\sin\left(x\right) 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt2}{2} \dfrac{\sqrt3}{2} 1 0

Or, on sait que :

  • \cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}
  • \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Etape 4

Appliquer la formule

On calcule alors la valeur demandée.

On a :

\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Ainsi :

\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

De plus, on a :

\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Ainsi :

\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}

Si le réel associé n'apparaît pas directement, on ajoute ou on soustrait un multiple de 2\pi afin de le retrouver.