Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle associé Méthode

Sommaire

1Déterminer le réel associé utilisé 2Réciter la formule 3Rappeler la valeur connue de cos ou de sin 4Appliquer la formule

On sait déterminer le cosinus et le sinus des réels associés à, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.

Donner la valeur de \cos \left(\dfrac{7\pi}{6}\right) et de \sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right).

Etape 1

Déterminer le réel associé utilisé

On connaît les valeurs du cosinus et du sinus de 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} et \pi.

On sait que les réels associés possibles d'un réel x sont :

  • -x
  • \pi-x
  • \pi+x
  • \dfrac{\pi}{2}+x
  • \dfrac{\pi}{2}-x

On détermine l'angle associé demandé en énoncé, en s'aidant éventuellement du cercle trigonométrique :

-

On remarque que :

\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}

On cherche donc les valeurs de \cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) et de \sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right).

Etape 2

Réciter la formule

D'après le cours, on connaît les formules des cosinus et sinus des réels associés suivants :

  • \sin\left(-x\right)= -\sin\left(x\right) et \cos \left(-x\right) = \cos \left(x\right)
  • \sin \left(\pi+x\right) = -\sin\left(x\right) et \cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right)
  • \sin \left(\pi-x\right) = \sin\left(x\right) et \cos \left(\pi-x\right) = -\cos \left(x\right)
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)

On récite la formule appropriée, que l'on retrouve éventuellement à l'aide du cercle trigonométrique :

-

On sait que :

  • \cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)
  • \sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)
Etape 3

Rappeler la valeur connue de cos ou de sin

On connaît, d'après le cours, le cosinus et le sinus de certains réels. Ils sont résumés dans le tableau suivant :

x 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi
\cos\left(x\right) 1 \dfrac{\sqrt3}{2} \dfrac{\sqrt2}{2} \dfrac{1}{2} 0 −1
\sin\left(x\right) 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt2}{2} \dfrac{\sqrt3}{2} 1 0

Or, on sait que :

  • \cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}
  • \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Etape 4

Appliquer la formule

On calcule alors la valeur demandée.

On a :

\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Ainsi :

\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

De plus, on a :

\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Ainsi :

\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}

Si le réel associé n'apparaît pas directement, on ajoute ou on soustrait un multiple de 2\pi afin de le retrouver.