Montrer que deux réels ont la même image sur le cercle Méthode

Sommaire

1Réciter le cours 2Calculer la différence entre les deux mesures 3Conclure

Une infinité de réels peuvent avoir la même image sur le cercle trigonométrique, s'ils sont égaux à 2k\pi près (k\in \mathbb{Z}).

Montrer que \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique .

Etape 1

Réciter le cours

Deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.

Les deux réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.

Etape 2

Calculer la différence entre les deux mesures

On calcule x_2-x_1.

On calcule la différence entre les deux angles :

\dfrac{2\pi}{5} -\left(-\dfrac{128\pi}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{5} +\dfrac{128\pi}{5} =\dfrac{130\pi}{5} = 26 \pi

Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si x_2-x_1=2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique.
  • Si x_2-x_1\neq2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 n'ont pas la même image sur le cercle trigonométrique.

Or :

26 \pi = 13 \times 2 \pi

Les réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont donc la même image sur le cercle trigonométrique.