Montrer que deux réels ont la même image sur le cercleMéthode

Une infinité de réels peuvent avoir la même image sur le cercle trigonométrique, s'ils sont égaux à 2k\pi près (k\in \mathbb{Z}).

Montrer que \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique .

Etape 1

Réciter le cours

Deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.

Les deux réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de 2\pi.

Etape 2

Calculer la différence entre les deux mesures

On calcule x_2-x_1.

On calcule la différence entre les deux angles :

\dfrac{2\pi}{5} -\left(-\dfrac{128\pi}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{5} +\dfrac{128\pi}{5} =\dfrac{130\pi}{5} = 26 \pi

Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si x_2-x_1=2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 ont la même image sur le cercle trigonométrique.
  • Si x_2-x_1\neq2k\pi, avec k\in\mathbb{Z}, alors les deux réels x_1 et x_2 n'ont pas la même image sur le cercle trigonométrique.

Or :

26 \pi = 13 \times 2 \pi

Les réels \dfrac{2\pi}{5} et -\dfrac{128\pi}{5} ont donc la même image sur le cercle trigonométrique.